cours de grf du 05/06, besoin de mise en page

grf/cours.tex

@@ -1123,3 +1123,176 @@ X=\bordermatrix{~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ~\cr
               & {\color{yellow}28} & {\color{yellow}6}
               & {\color{yellow}14} & {\color{yellow}5} & {\color{yellow}73}\cr}
 \]
+
+%cours du 5/06
+\section{Problèmes de flot maximal}
+Applications de 2 sortes :
+-> type réseau (de communication, routier, fluvial)
+Comment faire passer les éléments pour acheminer le débit maximun tout en
+respectant toutes les contraintes de capacité ?
+%ici faire petit dessin :)
+-> type affectation -> exemple : graphe biparti
+%ici faire petit dessin :)
+employés :
+-couplage de cardinal maximun (employé, tâche)
+(1, b) -> coupable de cardinal 1
+(1, a)
+(2, b) cardinal 2
+
+Définitions :
+Un réseau de transport est un graphe sans boucle qui comporte une entrée ou une
+source et une sortie ou puits.
+%graphe ici
+-Chaque arc u est doté d'une capacité c(u)
+On s'intéresse à une fonction, appelée le flot. On associe à chaque arc une
+fonction f(u) = flux transitant dans l'arc u.
+$flot = \{\ flux\ \}_\text{tous les arcs}$
+f(u): inconnue
+c(u): donnée
+-Le flot doit respecter 2 types de contraintes :
+(1) $\forall{u}: 0=<f(u)<=c(u)$
+(2) $\forall$ le noeud x dans le réseau, loi de kirshoff.
+[si f(u)=c(u), on dit que l'arc u est saturé]
+
+
+$$\sum\text{flux entrants}=\sum\text{flux sortants}$$ $\forall$ le noeud x
+-Tout flot qui respect dans le réseau les contraintes de type (1) et (2) est
+dit valide:
+exemple : flot nul.
+val(f) se définit de 3 manières différentes.
+(1) Valeur à la source [hypothès: pas de flux entrants dans s]
+$$val(f)=\sum\text{flux des arcs issues de s}$$
+= Chaque arc u est doté d'une capacité c(u)
+(2) Valeur au puits p [pas de flux sortants de p]
+$$val(f)=\sum\text{flux des arcs entrants dans p}$$
+(3) Valeur au niveau d'une coupe $$(S, \bar{S})$$ séparant la source du puits.
+S=ensemble de sommets du réseau qui contient
+obligatoirement s et qui ne contient pas p.
+$$\bar{S} = \text{ensemble de sonnets complémentaires}$$.
+$$val(f)=(\sum{f(S,\bar{S})}) - (\sum{f(\bar(S), S)})$$
+$\sum{f(S,\bar{S})}$ : somme des flux des ars ayant leur origine dans S
+et leur extrémité dans $$\bar{S}$$
+$\sum{f(\bar(S), S)}$ : somme des flux des arcs ayant leur origine dans
+$$\bar{S}$$ et leur extrémité dans S
+Propriété : $\forall$ la coupe $$(S, \bar{S})$$ considérée, la valeur du flot
+mesurée au niveau de cette coupe est la même : c'est val(f)
+
+-Capacité d'une coupe $$(S,\bar{S})$$
+$c(S,\bar{S}) = \sum{c(u)}_{arcs allant de S vers \bar{S}}$
+Propriétés (admises) :
+[1] $\forall$ la coupe $$(S,\bar{S})$$ considérée, la valeur du flot mesurée
+au niveau de cette coupe est la même
+[2] Soit f un flot $\forall$ établi dans un réseau de transport
+(1) $$val(f) =< c(S,\bar{S})$$, $\forall$ la coupe $$(S,\bar{S})$$ considérée
+(2) Si on trouve un flot f et une coupe $$(S,\bar{S})$$ tels que :
+$$val(f) = c(S,\bar{S})$$, alors le flot est de valeur maximale
+-> c'est le flot optimal
+
+Théoreme de la coupe et du flot :
+Flot de valeur maximum $$\equiv$$ coupe de capacité minimal
+(3) Lorsque le flot maximal (et la coupe de $$(S,\bar{S})$$ capacité minimale) :
+{ Pour tout arc de $$(S,\bar{S})$$, il est saturé: $$f(u)=c(u)$$
+{ Pour tout arc de $$(\bar{S},S)$$, il est de flux nul: $$f(u) = 0$$
+
+Détermination du flot maximal; algorithme de FORD-FULKERSON
+-On suppose établi un certain flot dans le réseau de transport (peut être
+un flôt de bonne qualité déterminé empiriquement, ou alors peut être le
+flot nul)
+-On cherche s'il existe dans le réseau une chaîne augmentante:
+-> si oui, alors on exploite cette chaine => nouveau flot de valeur supérieur
+-> si non, alors le flot considéré est optimal.
+-Chaîne augmentante : chaîne reliant s à p:
+%ici schema
+-Cette chaîne est dite augmentante si et seulement si il existe un nombre
+positif $\alpha$ que l'on peut ajouter au flux de tous les arcs à l'endroit
+(sans aller au delà de leur saturation) et retrancher de tous les arcs à
+l'envers (sans aller en-dessous du flux nul)
+-Exploiter une chaine augmentante, c'est rechercher le $\alpha$ maximum.
+$$\alpha = [Min(c(u)-f(u)); Min f(u)]$$
+Algo de Ford-Fullkerson
+(1) Faire passer un flot au pigé
+(2) Améliorer ce flot pour le rendre complet -> tout chemin de s à p comporte
+au moins 1 arc saturé.
+
+(3) * marquer l'entrée du réseau
+    * marquer l'extrémité terminale J de tout arc (I,J) non saturé dont
+l'extrémité initiale est déjà marquée
+    * marquer l'extrémité initiale K de tout arc (K,L) de flux non nul dont
+l'extrémité terminale L est déjà marquée.
+
+Ces deux phaes de marquage avant et en arriere sont alternées jusqu'au blocage
+-> 2 cas de figure :
+(a) on a pu marquer p -> alors il existe une chaîne augmentante identifiée à
+l'aide des marques. On explicite cette chaîne (recherche du $\alpha$)
+=> augmentationn de $\alpha$ de la valeur du flot
+(b) on n'a pas pu marquer p => il n'existe pas de chaîne augmentante reliant
+s à p : le flot considéré est optimal.
+Remarque : à l'issue de l'étape p, la coupe $$(S,\bar{S})$$ où S = liste des
+sommets marqués est la coupe de capacité minimale.
+
+Application (polycop. p103)
+-2 ports A et B -> quantités 10 et 10
+-marchandises demadée dans 3 ports C, D et E selon les quantités 9, 12 et 7
+\begin{figure}[h]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
+    thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
+    \node[main node] (s) {$s$};
+    \node[main node] (A) [right of=s]{$A$};
+    \node[main node] (C) [right of=A]{$C$};
+    \node[main node] (D) [below right of=A]{$D$};
+    \node[main node] (B) [left of=D]{$B$};
+    \node[main node] (E) [below right of=B]{$C$};
+    \node[main node] (p) [right of=D]{$p$};
+
+    \path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
+    (A)  edge [right] node[right] {[7]} (C)
+    (A)  edge [right] node[right] {[4]} (D)
+    (B)  edge [right] node[right] {[5]} (C)
+    (B)  edge [right] node[right] {[5]} (E)
+    ;
+  \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+(1) Peut-on satisfaire toutes les demandes ? Non.
+offre totale = $10+10=20$
+demande totale = $9+12+7=28$
+
+(2) Comment organiser les expéditions de façon à louer un maximun
+de marchandise ?
+
+-transformer ce problème en un problème de recherche du flot maximal dans
+un réseau de transport.
+-résoudre par l'algo de Ford-Fulkerson
+-Initialisation -> on s'efforce de démarrer l'algo à partir d'un flot complet
+(tout chemin de s à p comporte au moins 1 arc saturé :
+* flux 7 de A vers C
+* flux 9 de C vers p
+* Kirschoff au noeud C => flux 2 de B vers C (OK car < capacité de 5)
+* flux 10 de s vers A
+* Kirschoff en A => flux 3 de A vers D (OK car < capacité de 4)
+* Kirschoff en D => flux 3 de D vers p (OK car < capacité de 12)
+* on sature B-E
+* Kirschoff au moeud E => flux de 5 sur E-p (OK car < capacité de 7)
+* Kirshchoff au noeud B => flux de 7 sur s-B (OK car < capacité de 10)
+
+On a un flot complet de valeur 17.
+
+On a pu marquer p => le flot considéré n'est pas optimal :
+%faire un graphe avec ça : s ->[10](7) B ->[5](2) C <-[7](7) A ->[4](3) D ->[12](3) p
+%devient 8, 3, 6, 4, 4
+$\alpha=1$ -> flot: de 17 à 18.
+-Le nouveau flot est encore complet.
+-Le nouveau flot est de valeur 18 ($10 + 8$ ou $9 + 4 + 5$)
+2e itération -> on ne peut pas marquer p => le flot optimal est de valeur 18
+-> La coupe où S = ensemble des sommets marqués en dernière itération
+La capacité de la coupe $$(S,\bar{S})$$ est :
+$c(C,p) + c(A,D) + c(B,E) = [9] + [4] + [5] = 18$
+On a trouvé une coupe dont la capacité est alors à la valeur d'un flot.
+-> C'est que le flot es de valeur maximum et la coupe est de la capacité mini
+Remarque: tous les acs de $$(S,\bar{S})$$ sont saturés
+(tous les arcs de $$(\bar{S},S)$$ sont de flux nul)
+
+%ici graphe et tableau exo
+
+Flot max de 4 (En partant du flot nul)