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\chapter{Connectivité dans un graphe}
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\section{Algorithme de Roy-Warshall}
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\paragraph{Exercice page 101}
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\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=20pt,inner sep=0pt]
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\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]
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\tikzstyle{weight} = [font=\small]
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\tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50]
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\tikzstyle{ignored edge} = [draw,line width=5pt,-,black!20]
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\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
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thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
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|
\node[main node] (1) {A};
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|
\node[main node] (2) [right of=1] {B};
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|
\node[main node] (3) [right of=2] {C};
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|
\node[main node] (4) [below of=2] {D};
|
|
\node[main node] (5) [below right of=3] {E};
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\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
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|
(1) edge node[right] {$u_1$} (2)
|
|
edge node[left] {$u_2$} (4)
|
|
(2) edge node[left] {$u_3$} (3)
|
|
(3) edge node[left] {$u_4$} (5)
|
|
(4) edge node [left] {$u_5$} (3)
|
|
edge node[left] {$u_6$} (5)
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|
;
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|
\end{tikzpicture}
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|
Soit $M$ la \emph{matrice binaire} associée à un graphe.
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\[
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M= \begin{bmatrix}
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0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
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0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
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|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
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|
\end{bmatrix}
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|
\]
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\subsubsection{Représenter le graphe associé.}
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$M$ est la matrice $n\times n$ avec $n$ le nombre de sommets (ou n\oe uds) du
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graphe.\\
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Ici, on a 5 sommets~: $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
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$$m_{i,j}=1\Longleftrightarrow\exists\text{ un arc }(i,j)$$
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\subsubsection{Donner la matrice d'incidence de ce graphe.}
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Soit la matrice $A$~: $n\times m$, avec $n$ le nombre de \emph{sommets} du
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graphe et $m$ le nombre \emph{d'arcs} du graphe.
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\[
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M=\bordermatrix{~ & u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \cr
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A & +1 & +1 & & & & \cr
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B & -1 & & +1 & & & \cr
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C & & & & +1 & -1 & \cr
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D & & -1 & & & +1 & +1 \cr
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|
E & & & & -1 & & -1 \cr}
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|
\]
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|
$a_{i,j}=+1$ si $i$ est à l'origine de l'arc $j$, $a_{i,j}=-1$ si $i$ est à
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l'extrêmité terminale de $j$, $a_{i,j}=0$ sinon.
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\subsubsection{Calculer $M^2$, $M^3$, $M^4$, \ldots et interpréter les termes non nuls de ces matrices.}
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\[
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|
M^2= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 2 & 0 & 1\\
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|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
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|
$a_{3,1}=2$, cela signifie qu'il existe deux chemins de longueur 2 reliant $A$
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|
à $C$~: $ABC$ et $ADC$.
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|
$a_{5,1}=2$, cela signifie qu'il existe un chemin de longueur 2 reliant $A$
|
|
à $E$~: $ADE$.
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|
\[
|
|
M^3= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 2\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\qquad
|
|
M^4= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix} = M^n\quad\forall n\geq 4
|
|
\]
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|
Grâce à $M^3$, on voit qu'il n'existe que deux chemins de longueur trois
|
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reliant $A$ à $E$~: $ABCE$ et $ADCE$.
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Il n'existe pas de chemin plus grand que 3, car on a une matrice nulle pour
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$M^4$.
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\subsubsection{Calculer les puissances booléennes de $M$, soit $M^{\left[2\right]}$,
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|
$M^{\left[3\right]}$, $M^{\left[4\right]}$, \ldots}
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\[
|
|
M^{\left[2\right]}= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\qquad
|
|
M^3= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
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|
Dans ce cas, on dit qu'il existe au moins un chemin de longueur deux reliant
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|
les points où l'intersection dans la matrice n'est pas nulle.\\
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|
On a perdu l'information du nombre de chemin, on sait seulement si un chemin
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existe ou non.
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\subsubsection{Calculer la fermeture réflexo-transitive du graphe.}
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$$B=I\dot{+}M\dot{+}M^{\left[2\right]}\dot{+}\ldots$$
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\[
|
|
I= \begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}\text{ la matrice identitée}
|
|
\]
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|
\paragraph{En clair~:} $B$ correspond en fait à un OU logique appliqué à
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|
l'ensemble des matrices.
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|
\[
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|
B= \begin{bmatrix}
|
|
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
|
|
0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
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|
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|
Pour chacun des éléments non nuls de la matrice $B$, on peut dire qu'il existe
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au moin un chemin (de longueur indéterminée). La matrice $B$ permet donc de
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savoir si deux sommets sont interconnectés dans le graphe.
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\subsubsection{Algorithme de Roy-Warshall.}
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L'algorithme de Roy-Warshall permet de calculer $B$ sans calculer les produits
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matriciels.
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\subsection{Étapes}
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\begin{itemize}
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\item On calcul $B=I\dot{+}M$~;
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|
\item On calcul l'image de $B$ par l'opérateur $\theta_1$, soit
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$B=\theta_1(B)$~;
|
|
\item On calcul l'image de $B$ par l'opérateur $\theta_2$~;
|
|
\item Ainsi de suite, jusqu'à $\theta_n$.
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\end{itemize}
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|
\subsection{Opérateur $\theta_i$}
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\begin{itemize}
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|
\item On considère toutes les lignes de $B$ qui ont un 1 en colonne $i$~;
|
|
\item On ajoute (addition booléenne $\dot{+}$) à chacune de ces lignes tous les 1 de la ligne $i$~;
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\[
|
|
B=\theta_1(B)=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & \textbf{1} & 0 & 1 & 0\\
|
|
0 & \textbf{1} & \textbf{1} & 0 & 0\\
|
|
0 & \textbf{0} & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & \textbf{0} & 1 & 1 & 1\\
|
|
0 & \textbf{0} & 0 & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\xrightarrow{\theta_2}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 1 & \textbf{1} & 1 & 0\\
|
|
0 & 1 & \textbf{1} & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & \textbf{1} & 1 & 1\\
|
|
0 & 0 & \textbf{0} & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\xrightarrow{\theta_3}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 1 & 1 & 1 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 1 & 1 & 0 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & \textbf{1}
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
|
|
\paragraph{Exercice 2 page 101}
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|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {A};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {B};
|
|
\node[main node] (3) [below right of=2] {C};
|
|
\node[main node] (4) [below left of=3] {D};
|
|
\node[main node] (6) [below left of=1] {F};
|
|
\node[main node] (5) [below right of=6] {E};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [bend right] node[right] {} (2)
|
|
edge [bend right] node[left] {} (6)
|
|
(2) edge [bend right] node[left] {} (1)
|
|
edge [loop] node {} (2)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (3)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (5)
|
|
(3) edge [bend right] node[left] {} (4)
|
|
(4) edge [right] node [left] {} (2)
|
|
edge [bend right] node[left] {} (3)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (5)
|
|
(5) edge [loop] node [left] {} (5)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (6)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (2)
|
|
(6) edge node [left] {} (3)
|
|
edge [bend right] node[left] {} (1)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\subsubsection{Calculer les demi-degrés extérieurs et intérieurs des sommets du graphe}
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|
$\Gamma^+(A),\Gamma^+(B),\ldots$~; $\Gamma^+(A)={B,F}$, $\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$, \ldots
|
|
|
|
$\Gamma^-(A),\Gamma^-(B),\ldots$~; $\Gamma^-(A)={B,F}$, $\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$, \ldots\\
|
|
|
|
$\Gamma^+$~: la liste des descendants immédiats de $i$ et $\Gamma^+$~: la liste
|
|
des prédécesseurs immédiats de $i$.\\
|
|
|
|
\textbf{Le demi-degré intérieur} du sommet $i$ $\leftarrow d'(i)$~: le nombre
|
|
de prédécesseurs immédiats de $i$, à l'exception de $i$ lui-même.
|
|
|
|
\textbf{Le demi-degré extérieur} du sommet $i$ $\leftarrow d''(i)$~: le nombre
|
|
de successeurs immédiats de $i$, à ;'exception de $i$ lui-même.\\
|
|
|
|
$\Gamma^+(A)={B,F}$~: $d''(A)=2$
|
|
|
|
$\Gamma^+(B)={A,B,D,E}$~: $d''(B)=3$
|
|
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|
\subsubsection{Donner un exemple de chemin simple mais non élémentaire.}
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|
Un \textbf{chemin est simple} s'il ne passe qu'une fois par l'ensemble de ces
|
|
arcs. Exemple~: $ABCDBE$.
|
|
|
|
Un \textbf{chemin est élémentaire} s'il ne passe qu'une fois par l'ensemble de ces
|
|
sommets.
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|
\subsubsection{Existe-il un circuit Hamiltonien dans ce graphe~?}
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Un \textbf{circuit} est un chemin qui se ferme sur lui-même.
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|
Un \textbf{circuit hamiltonien} est un circuit passant par tous les sommets du
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graphe.
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\subparagraph{Problème du voyageur de commerce} Le voyageur de commerce visite
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|
une fois et une seul chaque ville, puis retourne à la ville de départ.
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|
\section{Recherche de plus court chemin optimal}
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|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (3) {C};
|
|
\node[main node] (1) [below left of=3] {A};
|
|
\node[main node] (2) [below right of=2] {B};
|
|
\node[main node] (4) [below of=3] {D};
|
|
\node[main node] (5) [right of=2] {E};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge node[right] {4} (3)
|
|
edge node[left] {8} (4)
|
|
(2) edge node[left] {2} (5)
|
|
edge [bend left] node[left] {2} (4)
|
|
(3) edge [bend left] node[left] {3} (2)
|
|
edge [bend right] node[left] {4} (4)
|
|
(4) edge [bend right] node [left] {-6} (3)
|
|
edge [bend right] node[left] {1} (5)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
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|
\subsection{Méthode matricielle}
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|
Pas de sommet source.
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|
Cette méthode donne en une seule exécution le chemin le plus court ou le chemin
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|
le plus long entre deux sommets.
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On cherche le chemin de valeur maximale reliant deux sommets.
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\subsubsection{Initialisation}
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On considère deux matrices $D_0$ et $\Pi_0$, de dimension $n\times n$, avec $n$
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le nombre de sommets (ici 5).
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|
\[
|
|
D_0=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & 4 & -\infty \cr
|
|
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_0=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \cr
|
|
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
|
|
$(D_0)_{i,j}=v_{i,j}=$ la valeur de l'arc $(i,j)$ si cet arc est présent\newline
|
|
sinon $(D_0)_{i,j}=-\infty$\newline
|
|
$(\Pi_{ij})=i$, $\forall j$.
|
|
|
|
\subsubsection{À chaque étape $k\geq 1$}
|
|
|
|
On calcule ma matrice $D_k$ obtenue en replaçant $(D_{k-1})_{i,j}$ par
|
|
$\max\lbrace(D_{k-1})_{i,j}, x\rbrace$, $x$ correspond à la somme du $k$-ième
|
|
terme de la ligne et du $k$-ième terme de la colonne où se trouve
|
|
$(D_k)_{i,j}$.
|
|
|
|
On itére pour $k=1,2,\ldots,n$. Ici $n=5\longmapsto$ on lit le résultat cherché
|
|
par l'intermédiaire des matrices $(D_n, \Pi_n)$.
|
|
|
|
\[
|
|
D_1=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & \textbf{4} & -\infty \cr
|
|
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_1=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & \textbf{3} & 3 \cr
|
|
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
$\max\lbrace4,-\infty+8\rbrace$. La première colonne étant composée de
|
|
$-\infty$, les deux matrices sont identiques. On a $D_0\equiv D_1$ et
|
|
$\Pi_0\equiv \Pi_1$.
|
|
|
|
\[
|
|
D_2=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & \textbf{5} & \textbf{5} \cr
|
|
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_2=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & \textbf{2} & \textbf{2} \cr
|
|
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
Dans $\Pi_2$~: $(\Pi_2)_{i,j}=(\Pi)_{2,j}$
|
|
|
|
\[
|
|
D_3=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & \textbf{7} & 4 & \textbf{9} & \textbf{9} \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & 5 & 5 \cr
|
|
D & -\infty & \textbf{-3} & -6 & \textbf{-1} & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_3=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & \textbf{3} & 1 & \textbf{2} & \textbf{2} \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \cr
|
|
D & 4 & \textbf{3} & 4 & \textbf{2} & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
|
|
\[
|
|
D_4=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & 7 & 4 & 9 & \textbf{10} \cr
|
|
B & -\infty & \textbf{-1} & \textbf{-4} & 2 & \textbf{3} \cr
|
|
C & -\infty & 3 & \textbf{-1} & 5 & \textbf{6} \cr
|
|
D & -\infty & -3 & -6 & -1 & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_4=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 3 & 1 & 2 & \textbf{4} \cr
|
|
B & 2 & \textbf{3} & \textbf{4} & 2 & \textbf{4} \cr
|
|
C & 3 & 3 & \textbf{4} & 2 & \textbf{4} \cr
|
|
D & 4 & 3 & 4 & 2 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
|
|
La dernière ligne étant composée de $=-\infty$, $D_5\equiv D_4$ et
|
|
$\Pi_5\equiv\Pi_4$.
|
|
|
|
\subsubsection{Lecture du résultat via $D_5$ et $\Pi_5$}
|
|
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|
On lit dans la case $(D_n)_{i,j}$ la valeur du chemin le plus long reliant $i$
|
|
à $j$. Exemple~: le chemin le plus long allant de $A$ à $E$ est de longueur
|
|
10.\\
|
|
|
|
$(\Pi_n)_{i,j}$ est le prédécesseur immédiat de $j$, soit $j'$.
|
|
|
|
$(\Pi_n)_{i,j'}$ est le prédécesseur immédiat de $j'$, soit $j''$, \ldots
|
|
|
|
\paragraph{Remarque} Le même algorithme procure également les chemins les plus
|
|
courts en appliquant deux changements~:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \textbf{Initialisation~:} on initialise la matrice à $+\infty$ au lieu
|
|
de $-\infty$.
|
|
\item \textbf{À l'itération $k$~:} on remplace l'opération $\max$ par
|
|
$\min$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
%Deuxième cours
|
|
\section{Problèmes d'ordonnancement de projets}
|
|
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%%%
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|
%Théorie des graphes -> cas déterministe.
|
|
%Un projet -> plusieurs tâches.
|
|
%Toutes ces tâches sont liées par des \textbf{contraintes}.
|
|
%\underline{But :} terminer au plus tôt, en respectant les contraintes.
|
|
%%%
|
|
|
|
Le but est de trouver l'ordonnancement au plus tôt de toutes les tâches.
|
|
|
|
On représente généralement ce genre de problème sous la forme de diagrammes de
|
|
Gantt calés à gauche.
|
|
|
|
Le deuxième objectif est de déterminer le chemin critique~: tout retard sur une
|
|
tâche critique se représente sur la durée totale du projet.
|
|
|
|
Pour les tâches non-critiques, on peut calculer la marge totale et la marge
|
|
libre.\\
|
|
|
|
Il existe deux méthodes principales pour calculer les crontraites de type
|
|
\emph{potentiel}~: la méthode tâche et la méthode PERT (qui ne sera pas traitée
|
|
dans ce cours).
|
|
|
|
Les seules contraintes sont du type~: \og la tâche B ne peut démarrer que 3
|
|
jours après la tâche A\fg, contraintes de succession.
|
|
|
|
\paragraph{Remarque} les contraintes les plus dures ne sont pas prises en
|
|
compte~: on parle de type cumulatif.
|
|
|
|
Lorsque les ressources sont limités, les interactions sont très fortes entre
|
|
les tâches.
|
|
|
|
%Permet au tableau d'être où il faut.
|
|
\newpage
|
|
\subsection{Méthode portentiels-tâches}
|
|
|
|
%2 opérations :
|
|
%\underline{1 - Ordonnancement au plus tôt}
|
|
%On calcule les dates de début au plus tôt de toutes les tâches
|
|
%=> diagramme de GANT calé à gauche.
|
|
%
|
|
%=> il y a 2 sortes de tâches :
|
|
% *les tâches critiques.
|
|
% *les tâches non-critiques.
|
|
%Une tâche critique est une tâche qui ne souffre d'aucun retard.
|
|
%-> tout retard sur le démarrage d'une tâche critique se répercurte
|
|
%\underline{sur la date de fin du projet}.
|
|
%Pour les tâches non critiques, il existe des marges totales/libres.
|
|
%\underline{2 - Ordonnancement au plus tard}
|
|
%\underline{hypothèse :} la durée minimale du projet est respectée.
|
|
%On cherche \underline{la date de début au plus tard} de chaque tâche
|
|
%non-critique, qui soit compatible avec cette durée minimale du projet.
|
|
\paragraph{Exemple} On a un problème à 7 tâches ($a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$
|
|
et $g$)~; les contraintes sont de type portentiel seulement.
|
|
|
|
|
|
Soit le tableau des contraintes suivantes~:
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tabular}{c|c|c}
|
|
\textbf{Tâches} & \textbf{Durées} & \textbf{Contraintes}\\
|
|
\hline
|
|
$a$ & 6 & \\
|
|
$b$ & 3 & \\
|
|
$c$ & 6 & \\
|
|
$d$ & 2 & $b$ achevée\\
|
|
$e$ & 4 & $b$ achevée\\
|
|
$f$ & 3 & $a$ et $d$ achevées\\
|
|
$g$ & 1 & $c$, $e$ et $f$ achevées\\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsubsection{Ordonancement au plus tôt -- Algorithme de Bellman}
|
|
|
|
On peut représenter le tableau des contraintes à l'aide d'un graphe, le graphe
|
|
\emph{potentiels-tâches}, dans lequel~:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item un sommet est associé à chaque tâche~;
|
|
\item un sommet $\alpha$ que l'on associe au début du projet~;
|
|
\item un sommet $\omega$ qui sera la fin du projet.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
On aura un arc $i,j$ si la tâche $j$ ne peut démarrer qu'après la tâche $i$. Il
|
|
s'agit d'une contrainte d'antécédence entre tâches.
|
|
|
|
La valuation de l'arc $i,j$~: le plus souvent, c'est la durée de la tâche $i$.
|
|
La tâche $j$ ne peut démarrer que lorsque la tâche $i$ est achevée~: entre le
|
|
début de la tâche $j$ et le début de la tâche $i$ qui la précéde s'écoule le
|
|
temps d'exécution de la tâche $i$.
|
|
|
|
\paragraph{Remarque} On peut rencontrer le contraire~: \og $j$ ne peut démarrer
|
|
que 2 jours après le début de $i$\fg. Dans ce cas, l'arc $i,j$ sera valué par
|
|
2.
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (2) {$a$};
|
|
\node[main node] (3) [below of=2] {$b$};
|
|
\node[main node] (1) [left of=3] {$\alpha$};
|
|
\node[main node] (4) [below of=3] {$c$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=3] {$d$};
|
|
\node[main node] (6) [below of=5] {$e$};
|
|
\node[main node] (7) [right of=5] {$f$};
|
|
\node[main node] (8) [below of=7] {$g$};
|
|
\node[main node] (9) [right of=7] {$\omega$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {0} (2)
|
|
edge [right] node[left] {0} (3)
|
|
edge [right] node[left] {0} (4)
|
|
(2) edge [right] node[right] {6} (7)
|
|
(3) edge [right] node[right] {3} (5)
|
|
edge [right] node[left] {3} (6)
|
|
(4) edge [bend right] node[right] {6} (8)
|
|
(5) edge [right] node[right] {2} (7)
|
|
(6) edge [right] node[right] {4} (8)
|
|
(7) edge [right] node[right] {3} (8)
|
|
(8) edge [right] node[right] {1} (9)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
La durée minimale correspond au chemin le plug long entre $\alpha$ et
|
|
$\omega$.
|
|
|
|
\subsubsection{Algorithme de Bellman}
|
|
|
|
On commence par dresser le tableau suivant~:
|
|
|
|
\hspace{-1cm}
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
& {\color{mauve} 0} & {\color{dkgreen} 0} & {\color{dkgreen} 0} &
|
|
{\color{dkgreen} 0} & {\color{red} 3} & {\color{red} 3} & {\color{red} 6} &
|
|
{\color{red} 9} & {\color{red} 10} \\
|
|
\hline
|
|
Tâche & $\alpha$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ & $e$ & $f$ & $g$ & $\omega$\\
|
|
\hline
|
|
Prédécesseurs & & {\color{mauve} 0} $\alpha$~: 0 & {\color{mauve} 0}
|
|
$\alpha$~: 0 & {\color{mauve} 0} $\alpha$~: 0 & {\color{blue} 0} $b$~: 3 &
|
|
{\color{blue} 0} $b$~: 3 & $\psi=$ {\color{blue} 0} $a$~: 6 & {\color{blue}
|
|
0} $c$~: 6 & {\color{blue} 9} $g$~: 1\\
|
|
&&&&&&& $\chi=$ {\color{blue} 3} $d$~: 2 & {\color{blue} 3} $e$~: 4&\\
|
|
&&&&&&&& {\color{blue} 6} $f$~: 3&\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
\paragraph{Initialisation} Le projet démarre à la date 0. Il s'agit de la date
|
|
de début au plus tôt de $\alpha$~; ici {\color{mauve} 0}.
|
|
|
|
\paragraph{Deuxième phase} {\color{mauve} Mouvement de haut en bas.}\\
|
|
Dès que l'on connaît une date de début au plus tôt (1\iere ligne du tableau),
|
|
on la répercute dans la deuxième ligne du tableau partout où la tâche concernée
|
|
apparaît.
|
|
|
|
\subparagraph{Ensuite} {\color{dkgreen} mouvement de bas en haut.}\\
|
|
Dès que l'on connaît les dates de début au plus tôt de tous les prédécesseurs
|
|
d'une tâche, on dit que la colonne est complète, et on calcule la date de
|
|
début au plus tôt de la tâche en tête de colonne (première ligne) par la
|
|
formule de Bellman~:
|
|
|
|
$$t_j=\max[t_i+v_{ij}]\qquad i\in(\Gamma^{-1}(j))$$
|
|
|
|
Par exemple, dans la colonne $f$, $\psi$ et $\chi$ sont $t_i$ et 6 et 2 sont $v_{ij}$
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $t_j$~: la date de début au plus tôt de $j$~;
|
|
\item $v_{ij}$~: valuation de l'arc $(i,j)$~;
|
|
\item $\Gamma^{-1}$~: prédécesseur de $j$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
{\color{blue} Ensuite}
|
|
|
|
{\color{red} Ensuite}
|
|
|
|
\vspace{1.5em}
|
|
|
|
L'ordonnancement au plus tôt est donc la durée minimale du projet, soit la date
|
|
au plus tôt de $\omega$ = 10~jours.
|
|
|
|
\begin{gantt}{8}{10}
|
|
\begin{ganttitle}
|
|
\numtitle{1}{1}{10}{1}
|
|
\end{ganttitle}
|
|
\ganttbar{$a$}{0}{6}
|
|
\ganttbar{$b$}{0}{3}
|
|
\ganttbar{$c$}{0}{6}
|
|
\ganttbar{$d$}{3}{2}
|
|
\ganttbar{$e$}{3}{4}
|
|
\ganttbar{$f$}{6}{3}
|
|
\ganttbar{$g$}{9}{1}
|
|
\ganttcon{6}{1}{6}{6}
|
|
\ganttcon{9}{6}{9}{7}
|
|
\end{gantt}
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {$\alpha$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {$a$};
|
|
\node[main node] (3) [right of=2] {$f$};
|
|
\node[main node] (4) [right of=3] {$g$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=4] {$\omega$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {0} (2)
|
|
(2) edge [right] node[right] {6} (3)
|
|
(3) edge [right] node[right] {3} (4)
|
|
(4) edge [right] node[right] {1} (5)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Chemin critique}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\vspace{1.5em}
|
|
|
|
On s'intéresse à l'ordonancement au plud tard, pour calculer les marges de
|
|
toutes les tâches non critiques.
|
|
|
|
\subparagraph{Hypothèse} La durée minimale du projet est respectée.
|
|
|
|
Pour les tâches critiques, la date de début au plus tard est égale à la date
|
|
de début au plus tôt.
|
|
|
|
Quelles sont les dates de début au plus tard des tâches non critiques~?
|
|
|
|
\vspace{1em}
|
|
|
|
\hspace{-1.5cm}
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
& 0 & 0 & 1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10\\
|
|
\hline
|
|
Tâche & $\alpha$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ & $e$ & $f$ & $g$ & $\omega$\\
|
|
\hline
|
|
Successeurs & {\color{blue} 0} $a$~: 0 & {\color{blue} 6} $f$~: 6 &
|
|
{\color{blue} 4} $d$~: 3 & {\color{blue} 9} $g$~: 6 & {\color{blue} 6} $f$~:
|
|
2 & {\color{blue} 9} $g$~: 4 & {\color{blue} 9} $g$~: 3 & {\color{blue} 10}
|
|
$\omega$~: 1&\\
|
|
& {\color{blue} 1} $b$~: 0 & & {\color{blue} 5} $e$~: 3 &&&&&&\\
|
|
& {\color{blue} 3} $c$~: 0 &&&&&&&&\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\vspace{1em}
|
|
|
|
Pour les tâches critiques~:
|
|
$$t_a^*=t_a=0$$
|
|
$$t_f^*=t_f=6$$
|
|
$$t_g^*=t_g=9$$
|
|
|
|
Pour les tâches non-critiques~: la \emph{marge totale} = $M_i=t_i^*-t_i$, soit~:
|
|
$$M_b=1$$
|
|
$$M_c=3$$
|
|
$$M_d=1$$
|
|
$$M_e=2$$
|
|
|
|
La \emph{marge libre}, $m_i$, est le délai dont on peut retarder la tâche $i$
|
|
sans conséquence sur ses successeurs.
|
|
$$m_i=\min(t_j-t_i-v_{ij})\qquad j\in\Gamma(i)$$
|
|
|
|
$$m_b=\min_{d,e}\lbrace t_d-t_b-v_{bd};t_e-t_b-v_{be}\rbrace$$
|
|
$$=\min_{d,e}\lbrace 3-0-3;3-0-3\rbrace=0$$
|
|
|
|
\subsubsection{Deuxième application~: algorithme de Ford}
|
|
|
|
Cet algorithme permet de trouver le chemin le plus long, ou le chemin le plus
|
|
court entre un sommet particulier (la racine) et tous les autres sommets du
|
|
graphe.
|
|
|
|
\paragraph{Initialisation} On numérote les sommets, le sommet racine prennant
|
|
le numéro 1. On essaye de respecter autant que possible la numérotation
|
|
topologique des sommets.
|
|
Les arcs de numérotation non topologique risquent d'entrainer
|
|
des retours en arrière ce qui impliquerait des retards.
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {$i$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {$j$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {} (2)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Représentation topologique~; ici $i<j$}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
%À mettre en page ou à supprimer
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {$1$};
|
|
\node[main node] (2) [below right of=1] {$2$};
|
|
\node[main node] (3) [right of=2] {$3$};
|
|
\node[main node] (4) [below left of=1] {$4$};
|
|
\node[main node] (5) [below left of=2] {$5$};
|
|
\node[main node] (6) [below right of=2] {$6$};
|
|
\node[main node] (7) [right of=6] {$7$};
|
|
\node[main node] (8) [right of=7] {$8$};
|
|
\node[main node] (9) [right of=8] {$9$};
|
|
\node[main node] (10) [below right of=7] {$10$};
|
|
\node[main node] (11) [right of=5] {$11$};
|
|
\node[main node] (12) [right of=4] {$12$};
|
|
\node[main node] (13) [right of=1] {$13$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {2} (2)
|
|
edge [right] node[right] {10} (3)
|
|
edge [bend left] node[right] {1} (4)
|
|
(2) edge [bend right] node[right] {3} (6)
|
|
edge [bend left] node[right] {20} (5)
|
|
(3) edge [bend right] node[right] {40} (5)
|
|
edge [bend left] node[right] {20} (4)
|
|
(4) edge [bend right] node[right] {3} (10)
|
|
edge [bend left] node[right] {5} (11)
|
|
(5) edge [bend right] node[right] {20} (6)
|
|
edge [right] node[right] {35} (7)
|
|
edge [bend left] node[right] {20} (9)
|
|
(6) edge [bend right] node[right] {5} (7)
|
|
(7) edge [bend left] node[right] {10} (8)
|
|
(8) edge [bend right] node[right] {45} (9)
|
|
edge [right] node[right] {20} (12)
|
|
(9) edge [bend left] node[right] {40} (12)
|
|
edge [bend right] node[right] {45} (11)
|
|
(10) edge [bend right] node[right] {45} (13)
|
|
(11) edge [right] node[right] {10} (10)
|
|
(12) edge [bend right] node[right] {10} (13)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Graphe page 106}
|
|
\end{figure}
|
|
Voir graphe page 106.
|
|
|
|
On cherche le chemin le plus court allant du sommet 1 vers tous les autres
|
|
sommets.
|
|
|
|
\paragraph{Marquage des sommets} On affecte au sommet 1 la valeur $\lambda_1=0$
|
|
et à tous les autres sommets la valeur $\lambda_i=+\infty$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\lambda_i$ évolue en cours d'algorithme~;
|
|
\item le dernier $\lambda_i$ affecté à $i$ donne la longueur du chemin le
|
|
plus court allant du sommet 1 au sommet $i$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\vspace{1em}
|
|
|
|
On examine à tour de rôle tous les arcs partant du sommet $i$, en commençant
|
|
par $i=1$. Pour ne pas en oublier, on fait cet examen dans l'ordre croissant de
|
|
l'extrémité $j$.
|
|
\vspace{1em}
|
|
Au moment de l'examen de l'arc $(i,j)$~: $v(i,j)$ est la valuation de l'arc
|
|
$(i,j)$.
|
|
|
|
Si $v(i,j)<\lambda_i-\lambda_j$, alors on remplace $\lambda_j$ par
|
|
$\lambda_i+v(i,j)$.
|
|
|
|
Si à un moment donné, on a $i>j$ et un changement de valeur pour $\lambda_j$,
|
|
il faut recommencer une partie des opérations, en repartant du sommet $i=j$. On
|
|
appel cela un retour en arrière.
|
|
|
|
|
|
\subparagraph{Par exemple} examen de l'arc $(11,10)$.
|
|
|
|
Cet examen risque d'entraîner le changement de valeur de $\lambda_{10}$. Alors,
|
|
il faut reprendre l'examen de l'arc $(10,13)$ avec la nouvelle valeur
|
|
$\lambda_{10}$.
|
|
|
|
\subparagraph{Go~!} examen de l'arc $(1,2)$.
|
|
$2 < \infty - 0$~? Oui $\Rightarrow$ on remplace $\lambda_2$ par
|
|
$\lambda_1+v(1,2)=0+2=2$.
|
|
|
|
\subparagraph{Remarque} Dans cet exemple, pas de retour en arrière, bien qu'un arc
|
|
ait ses extrêmités avec une numérotation non topologique. L'examen de l'arc
|
|
$(11,10)$ n'a pas entraîné la modification de $\lambda_{10}$. On ne doit pas
|
|
reaire l'examen de l'arc $(10,13)$.
|
|
|
|
\paragraph{Phase 2} identification du chemin solution.
|
|
|
|
On par de l'extrêmité terminale soit $i$. Le prédécesseur de $i$ est le sommet
|
|
$i$ tel que~:
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|
$$\lambda_i-\lambda_{i'}=v(i',i)$$
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% cours du 29/05 et du 04/06
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\section{Programme de transport optimal}
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\paragraph{Définition} Soit un graphe biparti avec \verb+m+ les
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origines ou dépôts et \verb+n+ les destinataires ou clients.
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On veut acheminer des marchandises depuis les dépôts jusqu'aux clients.
|
|
|
|
\subparagraph{Hypothèses} le \emph{coût unitaire} de transport est
|
|
donné depuis chaque dépôt vers chaque client~: $C_{ij}=$ coût de
|
|
transport d'une tonne depuis \verb+i+ vers \verb+j+ $\rightarrow[C]$.
|
|
|
|
\[
|
|
X=\bordermatrix{~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ~\cr
|
|
I & & & 18 & & & & {\color{yellow}18}\cr
|
|
II & 9 & 11 & 7 & & & 5 & {\color{yellow}32}\cr
|
|
III & & & 3 & 6 & 5 & & {\color{yellow}14}\cr
|
|
IV & & & & & 9 &&{\color{yellow}9}\cr
|
|
~ & {\color{yellow}9} & {\color{yellow}11}
|
|
& {\color{yellow}28} & {\color{yellow}6}
|
|
& {\color{yellow}14} & {\color{yellow}5} & {\color{yellow}73}\cr}
|
|
\]
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item On connaît la disponibilité totale de chaque fournisseur~: $a_i$.
|
|
\item On connait la demande totale de chaque client~: $b_j$.
|
|
\item $ \displaystyle { \sum_{origines} } \text{disponnibilités des dépôts}
|
|
= { \sum_{client} } \text{demandes des clients}$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subparagraph{Remarque} On peut toujours se ramener à ce cas, quitte à
|
|
créer une origine fictive ou un client fictif pour absorber la
|
|
différence entre
|
|
${\sum_{disponibilit\acute{e}}}$ et ${\sum_{demandes}}$.\\
|
|
|
|
On cherche un \emph{plan de transport}, soit une matrice $[X]$
|
|
$n\times m\rightarrow x_0=$ quantité transportée depuis $i$ vers $j$.\\
|
|
|
|
Matric X 4/6 ?\\
|
|
|
|
Un plan de transport est valide s'il respecte certaines conditions~:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \textbf{contraintes de ligne~:} la quantité livrée par chaque
|
|
dépôt est égale exactement à la disponibilité.
|
|
$${\sum_n^{j=1}}x{ij} = a_{i}\qquad\forall{i}=1,2,\ldots,m$$
|
|
\item \textbf{contraintes de colonne~:} la quantité reçue par chaque
|
|
client est exactement égale à sa demande.
|
|
$${\sum_m^{i=1}}x_{ij} = b_{j}\qquad\forall{j}=1,2,\ldots,n$$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Parmi tous les plans de transport $X=\left[x_{ij}\right]$ valides
|
|
(respectant toutes les contraintes), on cherche le plan de transport
|
|
de coût minimal.
|
|
|
|
Le coût d'un plan de transport donné est~:
|
|
$$z = {\sum_m^{i=1}\sum_n^{j=1}}x_{ij}C_{ij}$$
|
|
|
|
Évaluation de la difficulté du problème.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Nombre d'inconnues~: $n\times m$, ici 24 inconnues, la matrice $X$~;
|
|
\item nombre d'équations imposées (contraintes)~: $n + m = 10$ équations~;
|
|
\item nombre d'équations indépendantes~: $n + m - 1$, ici $9$~;
|
|
$$\sum\text{disponnibilités des dépôts}=\sum\text{demandes des clients}$$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\paragraph{Définition} Un plan de transport est dit non dégénéré (ou
|
|
solution de base) si l'excès d'inconnues par nombre d'équations
|
|
indépendantes est nul.
|
|
|
|
On cherche un plan de transport ayant $n\times m - (m + m - 1)$
|
|
variables nulles (15 variables nulles, 9 variables non nulles).
|
|
|
|
Méthode de recherche du plan de transport de coût minimal (ou plan de
|
|
transport optimal) 2 phases~:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \textbf{Heuristique de la différence maximale (ou de Balas-Hammer)~:}
|
|
cette méthode fournie une solution de base de bonne qualité, de manière
|
|
constructive, servant de base pour la phase 2.
|
|
\item En partant du plan de transport procuré par la phase 1,
|
|
on cherche par itération successives le plan de transport optimal.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\paragraph{Phase 1} On calcule pour chaque \emph{rangée} (ligne ou colonne) la
|
|
différence entre le coût unitaire le plus petit et le coût unitaire qui lui est
|
|
immédiatement supérieur.
|
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & disponnibilité
|
|
& $\Delta_e$ lignes\\ %Ici : n = 4; m = 6
|
|
\hline
|
|
I & 12 & 27 & 61 & 49 & 83 & 35 & {\color{yellow}18} & {\color{orange}15}\\
|
|
\hline
|
|
II & 23 & 39 & 78 & 28 & 65 & 42 & {\color{yellow}32} & {\color{orange}5}\\
|
|
\hline
|
|
III & 67 & 56 & 92 & 24 & 53 & 54 & {\color{yellow}14} & {\color{orange}29}\\
|
|
\hline
|
|
IV & 71 & 43 & 91 & 67 & 40 & 49 & {\color{yellow}9} & {\color{orange}3}\\
|
|
\hline
|
|
demande & {\color{yellow}9} & {\color{yellow}11}
|
|
& {\color{yellow}28} & {\color{yellow}6} & {\color{yellow}14}
|
|
& {\color{yellow}5} & {\color{yellow}73} &\\
|
|
\hline
|
|
$\Delta_c$ & {\color{orange}11} & {\color{orange}12}
|
|
& {\color{orange}17} & {\color{orange}4} & {\color{orange}13}
|
|
& {\color{orange}7} & &\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item On identifie la rangée (ligne ou colonne) correspondant à la
|
|
différence maximale (ici la ligne III).
|
|
\item On repère, dans cette rangée, la relation $(i,j)$ de coût
|
|
unitaire le plus faible (ici la relation (III, 4)).
|
|
\item On affecte à cette relation la quantité de marchandise la plus
|
|
élevée possible, c'est-à-dire, le minimum du couple
|
|
$\left(\text{disponibilité}, \text{demande}\right)$ associé à
|
|
cette case~: $\min(6, 16) = 6$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Cette opération a pour effet de saturer une rangée (ici la colonne 4),
|
|
et on actualise la disponibilité ou la demande restante (ici la
|
|
disponibilité de III~: $14\rightarrow 8$). On a éliminé une rangée, et
|
|
cela a permis de fixer une variable $x_{ij}$~:
|
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
& 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & disponnibilité & $\Delta_e$ lignes\\ %Ici : n = 4; m = 6
|
|
\hline
|
|
I & 12 & 27 & 61 & 83 & 35 & {\color{yellow}18} & {\color{orange}15}\\
|
|
\hline
|
|
II & 23 & 39 & 78 & 65 & 42 & {\color{yellow}32} & {\color{orange}16}\\
|
|
\hline
|
|
III & 67 & 56 & 92 & 53 & 54 & {\color{yellow}8} & {\color{orange}1}\\
|
|
\hline
|
|
IV & 71 & 43 & 91 & 40 & 49 & {\color{yellow}9} & {\color{orange}3}\\
|
|
\hline
|
|
demande & {\color{yellow}9} & {\color{yellow}11} & {\color{yellow}28}
|
|
& {\color{yellow}14} & {\color{yellow}5} & {\color{yellow}67} &\\
|
|
\hline
|
|
$\Delta_c$ & {\color{orange}11} & {\color{orange}12}
|
|
& {\color{orange}17} & {\color{orange}13} & {\color{orange}7} & &\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
On itère le processus jusqu'à ce que tout le tableau soit barré~; à la
|
|
dernière itération (ici là huitième), deux variables sont affectées
|
|
d'un seul coup.
|
|
|
|
\subparagraph{Remarque} si deux différences maximales sont égales, on
|
|
a plusieurs solution. Ici à la quatrième itération, on a deux
|
|
différences maximales égales à 13~: on choisira arbitrairement la
|
|
liaison $(IV, 5)$.
|
|
|
|
$z = 3535$ solution de base, de bonne qualité, mais pas optimale.\\
|
|
|
|
\paragraph{2\ieme{} phase} recherche de la solution optimale~: on construit le
|
|
graphe biparti associé à la solution de base précédente.
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (I) {$I$};
|
|
\node[main node] (II)[right of=I] {$II$};
|
|
\node[main node] (III) [right of=II]{$III$};
|
|
\node[main node] (IV) [right of=III]{$IV$};
|
|
\node[main node] (6) [below left of=I] {$6$};
|
|
\node[main node] (1) [right of=6]{$1$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1]{$2$};
|
|
\node[main node] (3) [right of=2]{$3$};
|
|
\node[main node] (4) [right of=3]{$4$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=4]{$5$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(I) edge [right] node[right] {42} (6)
|
|
(I) edge [right] node[right] {23} (1)
|
|
(I) edge [right] node[right] {39} (2)
|
|
(I) edge [right] node[right] {78} (3)
|
|
(II) edge [right] node[right] {61} (3)
|
|
(III) edge [right] node[right] {92} (3)
|
|
(III) edge [right] node[right] {24} (4)
|
|
(III) edge [right] node[right] {53} (5)
|
|
(IV) edge [right] node[right] {40} (5)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
On value ce graphe avec les coût unitaires.
|
|
|
|
On affect aux différents sommets un potentiel~:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item potentiel 0 à l'origine de l'arc de coût max, ici le sommet III~;
|
|
\item différence de potentiel arc $(i, j)$~: $v_j-v_i=C_{ij}$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
On calcule le coût marginal de chacune des liaisons $(i,j)$
|
|
inutilisées dans la solution de base~: $S_{ij}=v_i-v_j+c_{ij}$. On
|
|
cherche s'il existe une liaison inutilisée de coût marginal négatif.
|
|
$$S_{I,1} = 31 - 37 + 12 = 6$$
|
|
$$S_{I,2}=31-53+27=5$$
|
|
$$S_{III,6}=0-56+54=-2$$
|
|
|
|
Ici un seul coût marginal est inférieur à 0~; la solution analysée n'est pas
|
|
optimale. On utilise une chaine améliorante.
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {$III$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {$6$};
|
|
\node[main node] (3) [right of=2] {$II$};
|
|
\node[main node] (4) [right of=3] {$3$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=4] {$II$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(2) edge [->, right] node[right] {3} (1)
|
|
(3) edge [<-, right] node[right] {2} (2)
|
|
(4) edge [->, right] node[right] {10} (3)
|
|
(5) edge [<-, right] node[right] {0} (4)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\[
|
|
X=\bordermatrix{~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ~\cr
|
|
I & & & 18 & & & & {\color{yellow}18}\cr
|
|
II & 9 & 11 & {\color{red}10} & & & {\color{red}2} & {\color{yellow}32}\cr
|
|
III & & & {\color{red}0} & 6 & 5 & {\color{red}3} & {\color{yellow}14}\cr
|
|
IV & & & & & 9 &&{\color{yellow}9}\cr
|
|
~ & {\color{yellow}9} & {\color{yellow}11}
|
|
& {\color{yellow}28} & {\color{yellow}6}
|
|
& {\color{yellow}14} & {\color{yellow}5} & {\color{yellow}73}\cr}
|
|
\]
|
|
|
|
|
|
On cherche la quantité déplaçable la plus élevée possible. On augmente
|
|
d'une même quantité $\alpha$ tous les arcs à l'endroit et on diminue
|
|
de $\alpha$ tous les arcs à l'envers~:
|
|
$$\alpha = 3$$
|
|
Le coût de cette solution est de $z = 18 * 61 + 9 * 23 + \ldots$.
|
|
$$z=3235 + S_{III,6} * \alpha$$
|
|
$$z=3529$$
|
|
|
|
\subparagraph{2\ieme{} itération} On construit le graphe associé au
|
|
plan de transport amélioré.
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (I) {$I$};
|
|
\node[main node] (II) [right of=I]{$II$};
|
|
\node[main node] (III) [right of=II]{$III$};
|
|
\node[main node] (IV) [right of=III]{$IV$};
|
|
\node[main node] (3) [below left of=I] {$3$};
|
|
\node[main node] (1) [right of=3]{$1$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1]{$2$};
|
|
\node[main node] (6) [right of=2]{$6$};
|
|
\node[main node] (4) [right of=6]{$4$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=4]{$5$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(I) edge [right] node[right] {61} (3)
|
|
(II) edge [right] node[right] {78} (3)
|
|
(II) edge [right] node[right] {23} (1)
|
|
(II) edge [right] node[right] {39} (2)
|
|
(II) edge [right] node[right] {42} (6)
|
|
(III) edge [right] node[right] {54} (6)
|
|
(III) edge [right] node[right] {24} (4)
|
|
(III) edge [right] node[right] {53} (5)
|
|
(IV) edge [right] node[right] {40} (5)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
$$S_{I,1}=17-23+12=6$$
|
|
$$S_{I,2}=17-39+27=5$$
|
|
|
|
Tous les $S_{ij}$ des liaisons inutilisées sont supérieur à 0, on
|
|
s'arrête car le plan de transport analysé est optimal.
|
|
|
|
\subparagraph{Remarque} S'il existe un $S_{ij}$ de liaison inutilisée qui
|
|
soit égal à 0, cela signifie qu'il existe une autre solution de même
|
|
coût.
|
|
|
|
\[
|
|
X=\bordermatrix{~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ~\cr
|
|
I & & & 18 & & & & {\color{yellow}18}\cr
|
|
II & 9 & 11 & {\color{red}10} & & & {\color{red}2} & {\color{yellow}32}\cr
|
|
III & & & & 6 & 5 & {\color{red}3} & {\color{yellow}14}\cr
|
|
IV & & & & & 9 &&{\color{yellow}9}\cr
|
|
~ & {\color{yellow}9} & {\color{yellow}11}
|
|
& {\color{yellow}28} & {\color{yellow}6}
|
|
& {\color{yellow}14} & {\color{yellow}5} & {\color{yellow}73}\cr}
|
|
\]
|
|
|
|
%cours du 5/06
|
|
\section{Problèmes de flot maximal}
|
|
Applications de 2 sortes :
|
|
-> type réseau (de communication, routier, fluvial)
|
|
Comment faire passer les éléments pour acheminer le débit maximun tout en
|
|
respectant toutes les contraintes de capacité ?
|
|
%ici faire petit dessin :)
|
|
-> type affectation -> exemple : graphe biparti
|
|
%ici faire petit dessin :)
|
|
employés :
|
|
-couplage de cardinal maximun (employé, tâche)
|
|
(1, b) -> coupable de cardinal 1
|
|
(1, a)
|
|
(2, b) cardinal 2
|
|
|
|
Définitions :
|
|
Un réseau de transport est un graphe sans boucle qui comporte une entrée ou une
|
|
source et une sortie ou puits.
|
|
%graphe ici
|
|
-Chaque arc u est doté d'une capacité c(u)
|
|
On s'intéresse à une fonction, appelée le flot. On associe à chaque arc une
|
|
fonction f(u) = flux transitant dans l'arc u.
|
|
$flot = \{\ flux\ \}_\text{tous les arcs}$
|
|
f(u): inconnue
|
|
c(u): donnée
|
|
-Le flot doit respecter 2 types de contraintes :
|
|
(1) $\forall{u}: 0=<f(u)<=c(u)$
|
|
(2) $\forall$ le noeud x dans le réseau, loi de kirshoff.
|
|
[si f(u)=c(u), on dit que l'arc u est saturé]
|
|
|
|
|
|
$$\sum\text{flux entrants}=\sum\text{flux sortants}$$ $\forall$ le noeud x
|
|
-Tout flot qui respect dans le réseau les contraintes de type (1) et (2) est
|
|
dit valide:
|
|
exemple : flot nul.
|
|
val(f) se définit de 3 manières différentes.
|
|
(1) Valeur à la source [hypothès: pas de flux entrants dans s]
|
|
$$val(f)=\sum\text{flux des arcs issues de s}$$
|
|
= Chaque arc u est doté d'une capacité c(u)
|
|
(2) Valeur au puits p [pas de flux sortants de p]
|
|
$$val(f)=\sum\text{flux des arcs entrants dans p}$$
|
|
(3) Valeur au niveau d'une coupe $$(S, \bar{S})$$ séparant la source du puits.
|
|
S=ensemble de sommets du réseau qui contient
|
|
obligatoirement s et qui ne contient pas p.
|
|
$$\bar{S} = \text{ensemble de sonnets complémentaires}$$.
|
|
$$val(f)=(\sum{f(S,\bar{S})}) - (\sum{f(\bar(S), S)})$$
|
|
$\sum{f(S,\bar{S})}$ : somme des flux des ars ayant leur origine dans S
|
|
et leur extrémité dans $$\bar{S}$$
|
|
$\sum{f(\bar(S), S)}$ : somme des flux des arcs ayant leur origine dans
|
|
$$\bar{S}$$ et leur extrémité dans S
|
|
Propriété : $\forall$ la coupe $$(S, \bar{S})$$ considérée, la valeur du flot
|
|
mesurée au niveau de cette coupe est la même : c'est val(f)
|
|
|
|
-Capacité d'une coupe $$(S,\bar{S})$$
|
|
$c(S,\bar{S}) = \sum{c(u)}_{arcs allant de S vers \bar{S}}$
|
|
Propriétés (admises) :
|
|
[1] $\forall$ la coupe $$(S,\bar{S})$$ considérée, la valeur du flot mesurée
|
|
au niveau de cette coupe est la même
|
|
[2] Soit f un flot $\forall$ établi dans un réseau de transport
|
|
(1) $$val(f) =< c(S,\bar{S})$$, $\forall$ la coupe $$(S,\bar{S})$$ considérée
|
|
(2) Si on trouve un flot f et une coupe $$(S,\bar{S})$$ tels que :
|
|
$$val(f) = c(S,\bar{S})$$, alors le flot est de valeur maximale
|
|
-> c'est le flot optimal
|
|
|
|
Théoreme de la coupe et du flot :
|
|
Flot de valeur maximum $$\equiv$$ coupe de capacité minimal
|
|
(3) Lorsque le flot maximal (et la coupe de $$(S,\bar{S})$$ capacité minimale) :
|
|
{ Pour tout arc de $$(S,\bar{S})$$, il est saturé: $$f(u)=c(u)$$
|
|
{ Pour tout arc de $$(\bar{S},S)$$, il est de flux nul: $$f(u) = 0$$
|
|
|
|
Détermination du flot maximal; algorithme de FORD-FULKERSON
|
|
-On suppose établi un certain flot dans le réseau de transport (peut être
|
|
un flôt de bonne qualité déterminé empiriquement, ou alors peut être le
|
|
flot nul)
|
|
-On cherche s'il existe dans le réseau une chaîne augmentante:
|
|
-> si oui, alors on exploite cette chaine => nouveau flot de valeur supérieur
|
|
-> si non, alors le flot considéré est optimal.
|
|
-Chaîne augmentante : chaîne reliant s à p:
|
|
%ici schema
|
|
-Cette chaîne est dite augmentante si et seulement si il existe un nombre
|
|
positif $\alpha$ que l'on peut ajouter au flux de tous les arcs à l'endroit
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(sans aller au delà de leur saturation) et retrancher de tous les arcs à
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l'envers (sans aller en-dessous du flux nul)
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-Exploiter une chaine augmentante, c'est rechercher le $\alpha$ maximum.
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$$\alpha = [Min(c(u)-f(u)); Min f(u)]$$
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Algo de Ford-Fullkerson
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(1) Faire passer un flot au pigé
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(2) Améliorer ce flot pour le rendre complet -> tout chemin de s à p comporte
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au moins 1 arc saturé.
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(3) * marquer l'entrée du réseau
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* marquer l'extrémité terminale J de tout arc (I,J) non saturé dont
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l'extrémité initiale est déjà marquée
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* marquer l'extrémité initiale K de tout arc (K,L) de flux non nul dont
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l'extrémité terminale L est déjà marquée.
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Ces deux phaes de marquage avant et en arriere sont alternées jusqu'au blocage
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-> 2 cas de figure :
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(a) on a pu marquer p -> alors il existe une chaîne augmentante identifiée à
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l'aide des marques. On explicite cette chaîne (recherche du $\alpha$)
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=> augmentationn de $\alpha$ de la valeur du flot
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(b) on n'a pas pu marquer p => il n'existe pas de chaîne augmentante reliant
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s à p : le flot considéré est optimal.
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Remarque : à l'issue de l'étape p, la coupe $$(S,\bar{S})$$ où S = liste des
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sommets marqués est la coupe de capacité minimale.
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Application (polycop. p103)
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-2 ports A et B -> quantités 10 et 10
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-marchandises demadée dans 3 ports C, D et E selon les quantités 9, 12 et 7
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
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thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
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\node[main node] (s) {$s$};
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\node[main node] (A) [right of=s]{$A$};
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\node[main node] (C) [right of=A]{$C$};
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\node[main node] (D) [below right of=A]{$D$};
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\node[main node] (B) [left of=D]{$B$};
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\node[main node] (E) [below right of=B]{$C$};
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\node[main node] (p) [right of=D]{$p$};
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\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
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(A) edge [right] node[right] {[7]} (C)
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(A) edge [right] node[right] {[4]} (D)
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(B) edge [right] node[right] {[5]} (C)
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(B) edge [right] node[right] {[5]} (E)
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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(1) Peut-on satisfaire toutes les demandes ? Non.
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offre totale = $10+10=20$
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demande totale = $9+12+7=28$
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(2) Comment organiser les expéditions de façon à louer un maximun
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de marchandise ?
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-transformer ce problème en un problème de recherche du flot maximal dans
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un réseau de transport.
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-résoudre par l'algo de Ford-Fulkerson
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-Initialisation -> on s'efforce de démarrer l'algo à partir d'un flot complet
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(tout chemin de s à p comporte au moins 1 arc saturé :
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* flux 7 de A vers C
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* flux 9 de C vers p
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* Kirschoff au noeud C => flux 2 de B vers C (OK car < capacité de 5)
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* flux 10 de s vers A
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* Kirschoff en A => flux 3 de A vers D (OK car < capacité de 4)
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* Kirschoff en D => flux 3 de D vers p (OK car < capacité de 12)
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* on sature B-E
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* Kirschoff au moeud E => flux de 5 sur E-p (OK car < capacité de 7)
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* Kirshchoff au noeud B => flux de 7 sur s-B (OK car < capacité de 10)
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On a un flot complet de valeur 17.
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On a pu marquer p => le flot considéré n'est pas optimal :
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%faire un graphe avec ça : s ->[10](7) B ->[5](2) C <-[7](7) A ->[4](3) D ->[12](3) p
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%devient 8, 3, 6, 4, 4
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$\alpha=1$ -> flot: de 17 à 18.
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-Le nouveau flot est encore complet.
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-Le nouveau flot est de valeur 18 ($10 + 8$ ou $9 + 4 + 5$)
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2e itération -> on ne peut pas marquer p => le flot optimal est de valeur 18
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-> La coupe où S = ensemble des sommets marqués en dernière itération
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La capacité de la coupe $$(S,\bar{S})$$ est :
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$c(C,p) + c(A,D) + c(B,E) = [9] + [4] + [5] = 18$
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On a trouvé une coupe dont la capacité est alors à la valeur d'un flot.
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-> C'est que le flot es de valeur maximum et la coupe est de la capacité mini
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Remarque: tous les acs de $$(S,\bar{S})$$ sont saturés
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(tous les arcs de $$(\bar{S},S)$$ sont de flux nul)
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%ici graphe et tableau exo
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Flot max de 4 (En partant du flot nul)
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