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\chapter{Connectivité dans un graphe}
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\section{Algorithme de Roy-Warshall}
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\paragraph{Exercice page 101}
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\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=20pt,inner sep=0pt]
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\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]
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\tikzstyle{weight} = [font=\small]
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\tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50]
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\tikzstyle{ignored edge} = [draw,line width=5pt,-,black!20]
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\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
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thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
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|
\node[main node] (1) {A};
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|
\node[main node] (2) [right of=1] {B};
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|
\node[main node] (3) [right of=2] {C};
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|
\node[main node] (4) [below of=2] {D};
|
|
\node[main node] (5) [below right of=3] {E};
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\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
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|
(1) edge node[right] {$u_1$} (2)
|
|
edge node[left] {$u_2$} (4)
|
|
(2) edge node[left] {$u_3$} (3)
|
|
(3) edge node[left] {$u_4$} (5)
|
|
(4) edge node [left] {$u_5$} (3)
|
|
edge node[left] {$u_6$} (5)
|
|
;
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|
\end{tikzpicture}
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|
Soit $M$ la \emph{matrice binaire} associée à un graphe.
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\[
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M= \begin{bmatrix}
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0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
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0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
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|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
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|
\end{bmatrix}
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|
\]
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\subsubsection{Représenter le graphe associé.}
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$M$ est la matrice $n\times n$ avec $n$ le nombre de sommets (ou n\oe uds) du
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graphe.\\
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Ici, on a 5 sommets~: $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
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$$m_{i,j}=1\Longleftrightarrow\exists\text{ un arc }(i,j)$$
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\subsubsection{Donner la matrice d'incidence de ce graphe.}
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Soit la matrice $A$~: $n\times m$, avec $n$ le nombre de \emph{sommets} du
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graphe et $m$ le nombre \emph{d'arcs} du graphe.
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\[
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M=\bordermatrix{~ & u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \cr
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A & +1 & +1 & & & & \cr
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B & -1 & & +1 & & & \cr
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C & & & & +1 & -1 & \cr
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D & & -1 & & & +1 & +1 \cr
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|
E & & & & -1 & & -1 \cr}
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|
\]
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|
$a_{i,j}=+1$ si $i$ est à l'origine de l'arc $j$, $a_{i,j}=-1$ si $i$ est à
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l'extrêmité terminale de $j$, $a_{i,j}=0$ sinon.
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\subsubsection{Calculer $M^2$, $M^3$, $M^4$, \ldots et interpréter les termes non nuls de ces matrices.}
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\[
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|
M^2= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 2 & 0 & 1\\
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|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
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|
$a_{3,1}=2$, cela signifie qu'il existe deux chemins de longueur 2 reliant $A$
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|
à $C$~: $ABC$ et $ADC$.
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|
$a_{5,1}=2$, cela signifie qu'il existe un chemin de longueur 2 reliant $A$
|
|
à $E$~: $ADE$.
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|
\[
|
|
M^3= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 2\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\qquad
|
|
M^4= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix} = M^n\quad\forall n\geq 4
|
|
\]
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|
Grâce à $M^3$, on voit qu'il n'existe que deux chemins de longueur trois
|
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reliant $A$ à $E$~: $ABCE$ et $ADCE$.
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Il n'existe pas de chemin plus grand que 3, car on a une matrice nulle pour
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$M^4$.
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\subsubsection{Calculer les puissances booléennes de $M$, soit $M^{\left[2\right]}$,
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|
$M^{\left[3\right]}$, $M^{\left[4\right]}$, \ldots}
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\[
|
|
M^{\left[2\right]}= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\qquad
|
|
M^3= \begin{bmatrix}
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
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|
Dans ce cas, on dit qu'il existe au moins un chemin de longueur deux reliant
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|
les points où l'intersection dans la matrice n'est pas nulle.\\
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On a perdu l'information du nombre de chemin, on sait seulement si un chemin
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existe ou non.
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\subsubsection{Calculer la fermeture réflexo-transitive du graphe.}
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$$B=I\dot{+}M\dot{+}M^{\left[2\right]}\dot{+}\ldots$$
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\[
|
|
I= \begin{bmatrix}
|
|
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}\text{ la matrice identitée}
|
|
\]
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|
\paragraph{En clair~:} $B$ correspond en fait à un OU logique appliqué à
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|
l'ensemble des matrices.
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|
\[
|
|
B= \begin{bmatrix}
|
|
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
|
|
0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
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|
|
Pour chacun des éléments non nuls de la matrice $B$, on peut dire qu'il existe
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au moin un chemin (de longueur indéterminée). La matrice $B$ permet donc de
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savoir si deux sommets sont interconnectés dans le graphe.
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\subsubsection{Algorithme de Roy-Warshall.}
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L'algorithme de Roy-Warshall permet de calculer $B$ sans calculer les produits
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matriciels.
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\subsection{Étapes}
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\begin{itemize}
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\item On calcul $B=I\dot{+}M$~;
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|
\item On calcul l'image de $B$ par l'opérateur $\theta_1$, soit
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$B=\theta_1(B)$~;
|
|
\item On calcul l'image de $B$ par l'opérateur $\theta_2$~;
|
|
\item Ainsi de suite, jusqu'à $\theta_n$.
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\end{itemize}
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|
\subsection{Opérateur $\theta_i$}
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\begin{itemize}
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|
\item On considère toutes les lignes de $B$ qui ont un 1 en colonne $i$~;
|
|
\item On ajoute (addition booléenne $\dot{+}$) à chacune de ces lignes tous les 1 de la ligne $i$~;
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\[
|
|
B=\theta_1(B)=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & \textbf{1} & 0 & 1 & 0\\
|
|
0 & \textbf{1} & \textbf{1} & 0 & 0\\
|
|
0 & \textbf{0} & 1 & 0 & 1\\
|
|
0 & \textbf{0} & 1 & 1 & 1\\
|
|
0 & \textbf{0} & 0 & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\xrightarrow{\theta_2}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 1 & \textbf{1} & 1 & 0\\
|
|
0 & 1 & \textbf{1} & 0 & 0\\
|
|
0 & 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & \textbf{1} & 1 & 1\\
|
|
0 & 0 & \textbf{0} & 0 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\xrightarrow{\theta_3}
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & 1 & 1 & 1 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 1 & 1 & 0 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & 1 & 0 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & 1 & 1 & \textbf{1}\\
|
|
0 & 0 & 0 & 0 & \textbf{1}
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
|
|
\paragraph{Exercice 2 page 101}
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|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {A};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {B};
|
|
\node[main node] (3) [below right of=2] {C};
|
|
\node[main node] (4) [below left of=3] {D};
|
|
\node[main node] (6) [below left of=1] {F};
|
|
\node[main node] (5) [below right of=6] {E};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [bend right] node[right] {} (2)
|
|
edge [bend right] node[left] {} (6)
|
|
(2) edge [bend right] node[left] {} (1)
|
|
edge [loop] node {} (2)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (3)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (5)
|
|
(3) edge [bend right] node[left] {} (4)
|
|
(4) edge [right] node [left] {} (2)
|
|
edge [bend right] node[left] {} (3)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (5)
|
|
(5) edge [loop] node [left] {} (5)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (6)
|
|
edge [bend left] node[left] {} (2)
|
|
(6) edge node [left] {} (3)
|
|
edge [bend right] node[left] {} (1)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\subsubsection{Calculer les demi-degrés extérieurs et intérieurs des sommets du graphe}
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|
$\Gamma^+(A),\Gamma^+(B),\ldots$~; $\Gamma^+(A)={B,F}$, $\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$, \ldots
|
|
|
|
$\Gamma^-(A),\Gamma^-(B),\ldots$~; $\Gamma^-(A)={B,F}$, $\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$, \ldots\\
|
|
|
|
$\Gamma^+$~: la liste des descendants immédiats de $i$ et $\Gamma^+$~: la liste
|
|
des prédécesseurs immédiats de $i$.\\
|
|
|
|
\textbf{Le demi-degré intérieur} du sommet $i$ $\leftarrow d'(i)$~: le nombre
|
|
de prédécesseurs immédiats de $i$, à l'exception de $i$ lui-même.
|
|
|
|
\textbf{Le demi-degré extérieur} du sommet $i$ $\leftarrow d''(i)$~: le nombre
|
|
de successeurs immédiats de $i$, à ;'exception de $i$ lui-même.\\
|
|
|
|
$\Gamma^+(A)={B,F}$~: $d''(A)=2$
|
|
|
|
$\Gamma^+(B)={A,B,D,E}$~: $d''(B)=3$
|
|
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|
\subsubsection{Donner un exemple de chemin simple mais non élémentaire.}
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|
Un \textbf{chemin est simple} s'il ne passe qu'une fois par l'ensemble de ces
|
|
arcs. Exemple~: $ABCDBE$.
|
|
|
|
Un \textbf{chemin est élémentaire} s'il ne passe qu'une fois par l'ensemble de ces
|
|
sommets.
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\subsubsection{Existe-il un circuit Hamiltonien dans ce graphe~?}
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Un \textbf{circuit} est un chemin qui se ferme sur lui-même.
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|
Un \textbf{circuit hamiltonien} est un circuit passant par tous les sommets du
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graphe.
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\subparagraph{Problème du voyageur de commerce} Le voyageur de commerce visite
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|
une fois et une seul chaque ville, puis retourne à la ville de départ.
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|
\section{Recherche de plus court chemin optimal}
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|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (3) {C};
|
|
\node[main node] (1) [below left of=3] {A};
|
|
\node[main node] (2) [below right of=2] {B};
|
|
\node[main node] (4) [below of=3] {D};
|
|
\node[main node] (5) [right of=2] {E};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge node[right] {4} (3)
|
|
edge node[left] {8} (4)
|
|
(2) edge node[left] {2} (5)
|
|
edge [bend left] node[left] {2} (4)
|
|
(3) edge [bend left] node[left] {3} (2)
|
|
edge [bend right] node[left] {4} (4)
|
|
(4) edge [bend right] node [left] {-6} (3)
|
|
edge [bend right] node[left] {1} (5)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
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|
|
\subsection{Méthode matricielle}
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|
Pas de sommet source.
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|
Cette méthode donne en une seule exécution le chemin le plus court ou le chemin
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le plus long entre deux sommets.
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|
On cherche le chemin de valeur maximale reliant deux sommets.
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\subsubsection{Initialisation}
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On considère deux matrices $D_0$ et $\Pi_0$, de dimension $n\times n$, avec $n$
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le nombre de sommets (ici 5).
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|
\[
|
|
D_0=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & 4 & -\infty \cr
|
|
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_0=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \cr
|
|
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
|
|
$(D_0)_{i,j}=v_{i,j}=$ la valeur de l'arc $(i,j)$ si cet arc est présent\newline
|
|
sinon $(D_0)_{i,j}=-\infty$\newline
|
|
$(\Pi_{ij})=i$, $\forall j$.
|
|
|
|
\subsubsection{À chaque étape $k\geq 1$}
|
|
|
|
On calcule ma matrice $D_k$ obtenue en replaçant $(D_{k-1})_{i,j}$ par
|
|
$\max\lbrace(D_{k-1})_{i,j}, x\rbrace$, $x$ correspond à la somme du $k$-ième
|
|
terme de la ligne et du $k$-ième terme de la colonne où se trouve
|
|
$(D_k)_{i,j}$.
|
|
|
|
On itére pour $k=1,2,\ldots,n$. Ici $n=5\longmapsto$ on lit le résultat cherché
|
|
par l'intermédiaire des matrices $(D_n, \Pi_n)$.
|
|
|
|
\[
|
|
D_1=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & \textbf{4} & -\infty \cr
|
|
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_1=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & \textbf{3} & 3 \cr
|
|
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
$\max\lbrace4,-\infty+8\rbrace$. La première colonne étant composée de
|
|
$-\infty$, les deux matrices sont identiques. On a $D_0\equiv D_1$ et
|
|
$\Pi_0\equiv \Pi_1$.
|
|
|
|
\[
|
|
D_2=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & \textbf{5} & \textbf{5} \cr
|
|
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_2=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & \textbf{2} & \textbf{2} \cr
|
|
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
Dans $\Pi_2$~: $(\Pi_2)_{i,j}=(\Pi)_{2,j}$
|
|
|
|
\[
|
|
D_3=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & \textbf{7} & 4 & \textbf{9} & \textbf{9} \cr
|
|
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
|
C & -\infty & 3 & -\infty & 5 & 5 \cr
|
|
D & -\infty & \textbf{-3} & -6 & \textbf{-1} & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_3=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & \textbf{3} & 1 & \textbf{2} & \textbf{2} \cr
|
|
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
|
C & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \cr
|
|
D & 4 & \textbf{3} & 4 & \textbf{2} & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
|
|
\[
|
|
D_4=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & -\infty & 7 & 4 & 9 & \textbf{10} \cr
|
|
B & -\infty & \textbf{-1} & \textbf{-4} & 2 & \textbf{3} \cr
|
|
C & -\infty & 3 & \textbf{-1} & 5 & \textbf{6} \cr
|
|
D & -\infty & -3 & -6 & -1 & 1 \cr
|
|
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
|
\qquad
|
|
\Pi_4=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
|
A & 1 & 3 & 1 & 2 & \textbf{4} \cr
|
|
B & 2 & \textbf{3} & \textbf{4} & 2 & \textbf{4} \cr
|
|
C & 3 & 3 & \textbf{4} & 2 & \textbf{4} \cr
|
|
D & 4 & 3 & 4 & 2 & 4 \cr
|
|
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
|
\]
|
|
|
|
La dernière ligne étant composée de $=-\infty$, $D_5\equiv D_4$ et
|
|
$\Pi_5\equiv\Pi_4$.
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|
|
|
\subsubsection{Lecture du résultat via $D_5$ et $\Pi_5$}
|
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|
On lit dans la case $(D_n)_{i,j}$ la valeur du chemin le plus long reliant $i$
|
|
à $j$. Exemple~: le chemin le plus long allant de $A$ à $E$ est de longueur
|
|
10.\\
|
|
|
|
$(\Pi_n)_{i,j}$ est le prédécesseur immédiat de $j$, soit $j'$.
|
|
|
|
$(\Pi_n)_{i,j'}$ est le prédécesseur immédiat de $j'$, soit $j''$, \ldots
|
|
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|
\paragraph{Remarque} Le même algorithme procure également les chemins les plus
|
|
courts en appliquant deux changements~:
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\begin{itemize}
|
|
\item \textbf{Initialisation~:} on initialise la matrice à $+\infty$ au lieu
|
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de $-\infty$.
|
|
\item \textbf{À l'itération $k$~:} on remplace l'opération $\max$ par
|
|
$\min$.
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\end{itemize}
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|
%Deuxième cours
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\section{Problème d'orgonnancement de projets}
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|
Le but est de trouver l'ordonnancement au plus tôt de toutes les tâches.
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|
On représente généralement ce genre de problème sous la forme de diagrammes de
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Gantt calés à gauche.
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|
Le deuxième objectif est de déterminer le chemin critique~: tout retard sur une
|
|
tâche critique se représente sur la durée totale du projet.
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|
POiur les tâches non-critiques, on peut calculer la marge totale et la marge
|
|
libre.\\
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|
Il existe deux méthodes principales pour calculer les crontraites de type
|
|
\emph{potentiel}~: la méthode tâche et la méthode PERT (qui ne sera pas traitée
|
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dans ce cours).
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|
Les seules contraintes sont du type~: \og la tâche B ne peut démarrer que 3
|
|
jours après la tâche A\fg.
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|
\paragraph{Remarque} les contraintes les plus dures ne sont pas prises en
|
|
compte~: on parle de type cumulatif.
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Lorsque les ressources sont limités, les interactions sont très fortes entre
|
|
les tâches.
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\subsection{Méthode portentiels-tâches}
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|
\paragraph{Exemple} On a un problème à 7 tâches ($a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$
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|
et $g$)~; les contraintes sont de type portentiel seulement.
|
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|
Soit le tableau des contraintes suivantes~:
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\begin{figure}[h]
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|
\centering
|
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\begin{tabular}{c|c|c}
|
|
\textbf{Tâches} & \textbf{Durées} & \textbf{Contraintes}\\
|
|
\hline
|
|
$a$ & 6 & \\
|
|
$b$ & 3 & \\
|
|
$c$ & 6 & \\
|
|
$d$ & 2 & $b$ achevée\\
|
|
$e$ & 4 & $b$ achevée\\
|
|
$f$ & 3 & $a$ et $d$ achevées\\
|
|
$g$ & 1 & $c$, $e$ et $f$ achevées\\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsubsection{Ordonancement au plus tôt -- Algorithme de Bellman}
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|
On peut représenter le tableau des contraintes à l'aide d'un graphe, le graphe
|
|
\emph{potentiels-tâches}, dans lequel~:
|
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|
\begin{itemize}
|
|
\item un sommet est associé à chaque tâche~;
|
|
\item un sommet $\alpha$ que l'on associe au début du projet~;
|
|
\item un sommet $\omega$ qui sera la fin du projet.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
On aura un arc $i,j$ si la tâche $j$ ne peut démarrer qu'après la tâche $i$. Il
|
|
s'agit d'une contrainte d'antécédence entre tâches.
|
|
|
|
La valuation de l'arc $i,j$~: le plus souvent, c'est la durée de la tâche $i$.
|
|
La tâche $j$ ne peut démarrer que lorsque la tâche $i$ est achevée~: entre le
|
|
début de la tâche $j$ et le début de la tâche $i$ qui la précéde s'écoule le
|
|
temps d'exécution de la tâche $i$.
|
|
|
|
\paragraph{Remarque} On peut rencontrer le contraire~: \og $j$ ne peut démarrer
|
|
que 2 jours après le début de $i$\fg. Dans ce cas, l'arc $i,j$ sera valué par
|
|
2.
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (2) {$a$};
|
|
\node[main node] (3) [below of=2] {$b$};
|
|
\node[main node] (1) [left of=3] {$\alpha$};
|
|
\node[main node] (4) [below of=3] {$c$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=3] {$d$};
|
|
\node[main node] (6) [below of=5] {$e$};
|
|
\node[main node] (7) [right of=5] {$f$};
|
|
\node[main node] (8) [below of=7] {$g$};
|
|
\node[main node] (9) [right of=7] {$\omega$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {0} (2)
|
|
edge [right] node[left] {0} (3)
|
|
edge [right] node[left] {0} (4)
|
|
(2) edge [right] node[right] {6} (7)
|
|
(3) edge [right] node[right] {3} (5)
|
|
edge [right] node[left] {3} (6)
|
|
(4) edge [bend right] node[right] {6} (8)
|
|
(5) edge [right] node[right] {2} (7)
|
|
(6) edge [right] node[right] {4} (8)
|
|
(7) edge [right] node[right] {3} (8)
|
|
(8) edge [right] node[right] {1} (9)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
La durée minimale correspond au chemin le plug long entre $\alpha$ et
|
|
$\omega$.
|
|
|
|
\subsubsection{Algorithme de Bellman}
|
|
|
|
On commence par dresser le tableau suivant~:
|
|
|
|
\hspace{-1cm}
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
& {\color{mauve} 0} & {\color{dkgreen} 0} & {\color{dkgreen} 0} &
|
|
{\color{dkgreen} 0} & {\color{red} 3} & {\color{red} 3} & {\color{red} 6} &
|
|
{\color{red} 9} & {\color{red} 10} \\
|
|
\hline
|
|
Tâche & $\alpha$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ & $e$ & $f$ & $g$ & $\omega$\\
|
|
\hline
|
|
Prédécesseurs & & {\color{mauve} 0} $\alpha$~: 0 & {\color{mauve} 0}
|
|
$\alpha$~: 0 & {\color{mauve} 0} $\alpha$~: 0 & {\color{blue} 0} $b$~: 3 &
|
|
{\color{blue} 0} $b$~: 3 & $\psi=$ {\color{blue} 0} $a$~: 6 & {\color{blue}
|
|
0} $c$~: 6 & {\color{blue} 9} $g$~: 1\\
|
|
&&&&&&& $\chi=$ {\color{blue} 3} $d$~: 2 & {\color{blue} 3} $e$~: 4&\\
|
|
&&&&&&&& {\color{blue} 6} $f$~: 3&\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
\paragraph{Initialisation} Le projet démarre à la date 0. Il s'agit de la date
|
|
de début au plus tôt de $\alpha$~; ici {\color{mauve} 0}.
|
|
|
|
\paragraph{Deuxième phase} {\color{mauve} Mmouvement de haut en bas.}\\
|
|
Dès que l'on connaît une date de début au plus tôt (1\iere ligne du tableau),
|
|
on la répercute dans la deuxième ligne du tableau partout où la tâche concernée
|
|
apparaît.
|
|
|
|
\subparagraph{Ensuite} {\color{dkgreen} mouvement de bas en haut.}\\
|
|
Dès que l'on connaît les dates de début au plus tôt de tous les prédécesseurs
|
|
d'une tâche, on dit que la colonne est complète, et on calcule la date de
|
|
dévbut au plus tôt de la tâche en tête de colonne (première ligne) par la
|
|
formule de Bellman~:
|
|
|
|
$$t_j=\max[t_i+v_{ij}]\qquad i\in(\Gamma^{-1}(j))$$
|
|
|
|
Par exemple, dans la colonne $f$, $\psi$ et $\chi$ sont $t_i$ et 6 et 2 sont $v_{ij}$
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $t_j$~: la date de début au plus tôt de $j$~;
|
|
\item $v_{ij}$~: valuation de l'arc $(i,j)$~;
|
|
\item $\Gamma^{-1}$~: prédécesseur de $j$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
{\color{blue} Ensuite}
|
|
|
|
{\color{red} Ensuite}
|
|
|
|
\vspace{1.5em}
|
|
|
|
L'ordonnancement au plus tôt est donc la durée minimale du projet, soit la date
|
|
au plus tôt de $\omega$ = 10~jours.
|
|
|
|
\begin{gantt}{8}{10}
|
|
\begin{ganttitle}
|
|
\numtitle{1}{1}{10}{1}
|
|
\end{ganttitle}
|
|
\ganttbar{$a$}{0}{6}
|
|
\ganttbar{$b$}{0}{3}
|
|
\ganttbar{$c$}{0}{6}
|
|
\ganttbar{$d$}{3}{2}
|
|
\ganttbar{$e$}{3}{4}
|
|
\ganttbar{$f$}{6}{3}
|
|
\ganttbar{$g$}{9}{1}
|
|
\ganttcon{6}{1}{6}{6}
|
|
\ganttcon{9}{6}{9}{7}
|
|
\end{gantt}
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {$\alpha$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {$a$};
|
|
\node[main node] (3) [right of=2] {$f$};
|
|
\node[main node] (4) [right of=3] {$g$};
|
|
\node[main node] (5) [right of=4] {$\omega$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {0} (2)
|
|
(2) edge [right] node[right] {6} (3)
|
|
(3) edge [right] node[right] {3} (4)
|
|
(4) edge [right] node[right] {1} (5)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Chemin critique}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\vspace{1.5em}
|
|
|
|
On s'intéresse à l'ordonancement au plud tard, pour calculer les marges de
|
|
toutes les tâches non critiques.
|
|
|
|
\subparagraph{Hypothèse} La durée minimale du projet est respectée.
|
|
|
|
Pour les tâches croitiques, la date de début au plus tard est égale à la date
|
|
de début au plus tôt.
|
|
|
|
Quelles sont les dates de début au plus tard des tâches non critiques~?
|
|
|
|
\vspace{1em}
|
|
|
|
\hspace{-1.5cm}
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
& 0 & 0 & 1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 & 10\\
|
|
\hline
|
|
Tâche & $\alpha$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ & $e$ & $f$ & $g$ & $\omega$\\
|
|
\hline
|
|
Successeurs & {\color{blue} 0} $a$~: 0 & {\color{blue} 6} $f$~: 6 &
|
|
{\color{blue} 4} $d$~: 3 & {\color{blue} 9} $g$~: 6 & {\color{blue} 6} $f$~:
|
|
2 & {\color{blue} 9} $g$~: 4 & {\color{blue} 9} $g$~: 3 & {\color{blue} 10}
|
|
$\omega$~: 1&\\
|
|
& {\color{blue} 1} $b$~: 0 & & {\color{blue} 5} $e$~: 3 &&&&&&\\
|
|
& {\color{blue} 3} $c$~: 0 &&&&&&&&\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\vspace{1em}
|
|
|
|
Pour les tâches critiques~:
|
|
$$t_a^*=t_a=0$$
|
|
$$t_f^*=t_f=6$$
|
|
$$t_g^*=t_g=9$$
|
|
|
|
Pour les tâches non-critiques~: la \emph{marge totale} = $M_i=t_i^*-t_i$, soit~:
|
|
$$M_b=1$$
|
|
$$M_c=3$$
|
|
$$M_d=1$$
|
|
$$M_e=2$$
|
|
|
|
La \emph{marge libre}, $m_i$, est le délai dont on peut retarder la tâche $i$
|
|
sans conséquence sur ses successeurs.
|
|
$$m_i=\min(t_j-t_i-v_{ij})\qquad j\in\Gamma(i)$$
|
|
|
|
$$m_b=\min_{d,e}\lbrace t_d-t_b-v_{bd};t_e-t_b-v_{be}\rbrace$$
|
|
$$=\min_{d,e}\lbrace 3-0-3;3-0-3\rbrace=0$$
|
|
|
|
\subsubsection{Deuxième application~: algorithme de Ford}
|
|
|
|
Cet algorithme permet de trouver le chemin le plus long, ou le chemin le plus
|
|
court entre un sommet particulier (la racine) et tous les autres sommets du
|
|
graphe.
|
|
|
|
\paragraph{Initialisation} On numérote les sommets, le sommet racine prennant
|
|
le numéro 1. On essaye de respecter autant que possible la numérotation
|
|
topologique des sommets.
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
|
|
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
|
\node[main node] (1) {$i$};
|
|
\node[main node] (2) [right of=1] {$j$};
|
|
|
|
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
|
(1) edge [right] node[right] {} (2)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Représentation topologique~; ici $i<j$}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
Voir graphe page 106.
|
|
|
|
On cherche le chemin le plus court allant du sommet 1 vers tous les autres
|
|
sommets.
|
|
|
|
\paragraph{Marquage des sommets} On affecte au sommet 1 la valeur $\lambda_1=0$
|
|
et à tous les autres sommets la valeur $\lambda_i=+\infty$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\lambda_i$ évolue en cours d'algorithme~;
|
|
\item le dernier $\lambda_i$ affecté à $i$ donne la longueur du chemin le
|
|
plus court allant du sommet 1 au sommet $i$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\vspace{1em}
|
|
|
|
On examine à tour de rôle tous les arcs partant du sommet $i$, en commençant
|
|
par $i=1$. Pour ne pas en oublier, on fait cet examen dans l'ordre croissant de
|
|
l'extrémité $j$.
|
|
\vspace{1em}
|
|
Au moment de l'examen de l'arc $(i,j)$~: $v(i,j)$ est la valuation de l'arc
|
|
$(i,j)$.
|
|
|
|
Si $v(i,j)<\lambda_i-\lambda_j$, alors on remplace $\lambda_j$ par
|
|
$\lambda_i+v(i,j)$.
|
|
|
|
Si à un moment donné, on a $i>j$ et un changement de valeur pour $\lambda_j$,
|
|
il faut recommencer une partie des opérations, en repartant du sommet $i=j$. On
|
|
appel cela un retour en arrière.
|
|
|
|
|
|
\subparagraph{Par exemple} examen de l'arc $(11,10)$.
|
|
|
|
Cet examen risque d'entraîner le changement de valeur de $\lambda_{10}$. Alors,
|
|
il faut reprendre l'examen de l'arc $(10,13)$ avec la nouvelle valeur
|
|
$\lambda_{10}$.
|
|
|
|
\subparagraph{Go~!} examen de l'arc $(1,2)$.
|
|
$2 < \infty - 0$~? Oui $\Rightarrow$ on remplace $\lambda_2$ par
|
|
$\lambda_1+v(1,2)=0+2=2$.
|
|
|
|
\subparagraph{Remarque} Dans cet exemple, pas de retour en arrière, bien qu'un arc
|
|
ait ses extrêmités avec une numérotation non topologique. L'examen de l'arc
|
|
$(11,10)$ n'a pas entraîné la modification de $\lambda_{10}$. On ne doit pas
|
|
reaire l'examen de l'arc $(10,13)$.
|
|
|
|
\paragraph{Phase 2} identification du chemin solution.
|
|
|
|
On par de l'extrêmité terminale soit $i$. Le prédécesseur de $i$ est le sommet
|
|
$i$ tel que~:
|
|
$$\lambda_i-\lambda_{i'}=v(i',i)$$
|