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\documentclass[10pt]{report}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage[frenchb]{babel}
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\usepackage{ucs}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{eurosym}
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\usepackage{enumerate}
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\begin{document}
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\chapter{Le modèle probabiliste et variables aléatoires}
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\section{Exos}
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\subsection{Exercice 1}
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Un usager du métro effectue régulièrement 100 voyages par mois en 1ère
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classe. On admet qu'à chaque voyage, cet usager a 1 chance sur 10 d'être
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contrôlé. On suppose que cet usager fraude systématiquement en voyageant en
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1ère classe avec un billet de seconde classe.
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La différence entre les prix des billets de 1ère et 2e est de 1 \euro mais à
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chaque contrôle, l'usager doit payer une amande $A$.
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Soit $X$ le nombre de fois où l'usager est contrôlé pendant un mois.\\
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\begin{enumerate}
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\item La loi de X~?
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\item Soit $B$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice fait pour l'usage
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pendant un mois en fraudant.\\
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Calculer $E(B)$ et en déduire pour quelle condition portant sur $A$
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l'usager est en moyenne gagnant.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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$X$ suit $B(n,p)$ $\lbrace^{n=100}_{p=\frac{1}{10}}$
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$$\left[^{P[X=k]=C^k_{100}(0,1)^k(0,9)^{100-k}}_{\forall k=0, 1, ..., n}\right.$$
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\paragraph{Correction 2.}
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$B$ variable aléatoire bénéfice.
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$$B=n-X\cdot A$$
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$$E(B)=E(n)-A\cdot E(X)=n-A\cdot n\cdot p=100-10\cdot A$$
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$E$ est linéaire.
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L'usager est gagnant si $E(B)>0\Rightarrow 100-10\cdot A>0\Rightarrow A <
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10\mathrm{~euros}$
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\subsection{Exercice 2}
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Une fabrique produit des tubes électroniques doit en moyenne $1\%$ soit
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défectueux.
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On suppose que les évènements sont indépendants.
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Un client achète $300$ tubes électroniques. La fabrique garanti ses tubes à
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$97\%$.
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Soit $X$ le nombre de tubes défectueux, parmi les tubes achetés.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi de probabilité de $X$~?
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\item Pour quelle loi peut-on l'approcher~?
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\item Déterminer la probabilité que le client, après avoir testé ses tubes,
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revienne à la fabrique pour faire marcher la garantie.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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$X$ suit $B(n,p)$ $n=300$ et $p=0,01$
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\paragraph{Correction 2.}
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\subparagraph{Théorème} Loi de poisson
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$$B(n,p)\longrightarrow^{Loi}_{n\mapsto+\infty}B(\lambda=n\cdot p)$$
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En pratique~:
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$$\left\lbrace^{n>50}_p<0,1\Longrightarrow B(n,p)\simeq P(\lambda=3)\right.$$
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$$P[X=k]=C^{k}_{300}(0,01)^k(0,99)^{300-k}\simeq
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e^{-3}\frac{3^k}{k!}\mathrm{~(Loi~de~poisson)}$$
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\paragraph{Correction 3.}
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Le nombre de tubes qui fonctionnent~: $300\times 97\%=291$
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$$P[X>300-291=9]=P[X>9]=1-P[X\leq 9]\simeq
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1-\sum^{9}_{k=0}e^{-3}\frac{3^k}{k!}\simeq
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1-e^{-3}\sum^{9}_{k=0}\frac{3^k}{k!}$$
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=> 1 chance sur 1000 pour qu'il revienne
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\subsection{Exercice 3}
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Lors de tests d'accès à un ordinateur central par réseau télématique, on a
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constaté que $95\%$ des essais permettaient une connexion correcte.
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Une entreprise doit se connecter 4 fois par jour pour la mise à jour de ses
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fichiers.
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Soit $X$ le nombre d'essais nécessaires pour se connecter 4 fois.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $P[X=4]$
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\item Calculer la probabilité de dépasser 6 essais.
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\item Calculer $E(X)$, $\sigma(X)=\sqrt{V\left(X\right)}$
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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Soit $X$ le nombre d'essaus nécessaires pour observer l'événement $A$ $n$ fois.
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$$P[X=x]=p\cdot C^{n-1}_{x-1}p^{n-1}\cdot q^{x-n}=C^{n-1}_{x-1}p^n\cdot
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p^{x-n}$$
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$$q=1-p=5\%$$
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$X$ suit la loi de Pascal d'ordre $n=4$
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$$p=0,95\qquad P[X=4]=(0,95)^4=0,815$$
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\paragraph{Correction 2.}
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$$P[X>6]=1-P[X\leq 6]=1-\sum_{k=4}^6 P[X=k]$$
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$$=1-(0,95)^4-C^3_4 (0,95)^4(0,05)-C^3_5 (0,95)^4(0,05)^2\simeq 0,00223$$
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\paragraph{Correction 3.}
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$$E(X)=\frac{n}{p}=\frac{4}{0,95}=4,21$$
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$$V(X)=\frac{n\cdot q}{p^2}\Rightarrow\sigma=\frac{\sqrt{n/cdot
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q}}{p}=\frac{\sqrt{4\times 0,05}}{0,95}=0,47$$
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\subsection{Exercice 4}
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Un médecin envisage d'installer un cavinet de traumatologie dans une station de
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sports d'hiver pendant la saison de ski.
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Il estime qu'un tel cabinet devient rentable à partir de 10 patients par
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jour. En moyenne, dans cette station, 5~000 skieurs skient par jour et d'après
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les statistiques chaque skieur a une probabilité de 0,001 d'être victime d'une
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mauvaise chute. Soit $X$ le nombre d'accidents en une journée.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi de $X$.
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\item Calculer la probabilité que le cabinet soit rentable.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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$X$ suit $B(n,p)$ avec $n=5000$ et $p=0,001$.
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$$\left\lbrace^{n~grand}_{p<0,1}\right.\Rightarrow B(n,p)\simeq P(\lambda=5)$$
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\paragraph{Correction 2.}
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$$P[X\geq 10]=1-P[X\leq 9]\simeq 1-e^{-5}\sum_{k=0}^{9}\frac{5^k}{k!}\simeq 0,968$$
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\section{Conseils pour révision}
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Pas de Choleski
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Relaxation,
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Faire 2 exos sur les 3 pour avoir la moyenne
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\end{document}
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