Cours du jour
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e74c3a6dc8
@ -55,9 +55,40 @@ volée.
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\section{Pureté}
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Une fonction mathématique, sans effet de bord. En lui passant les mêmes
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arguments, elle doit toujours renvoyé la même chose quelque soit le contexte.
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Au niveau des variables, elles n'existent plus~! il n'y a que des constantes.\\
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Étant donné qu'écrire dans un terminal est un effet de bord, l'implémentation
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des fonctions interagissant avec des fichiers sont confinées dans des bunkers.
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\subsection{Intérêt}
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La pureté est essentielle pour le parallélisme. En effet, avec la pureté, on a
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pas de problème de concurence d'accès, ...
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Par exemple Erlang est parfaitement adapté à ça. Il est d'ailleurs parfaitement
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adapté à la distribution qui est prévu dans les primitives du langage.
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\paragraph{Sëmantique locale aux fonctions}
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Étant donné que les fonctions pures n'ont pas d'effet de bord, il est très
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facile de les tester/déboguer.
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\paragraph{Preuve de programme}
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\section{Évaluation}
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\subsection{Strict}
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Dans un évaluateur strict (tel que Lisp), il va d'abord évaluer les arguments
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de gauche à droite, puis il applique la fonction avec les arguments évalués.
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\subsection{Lazy} ou évaluation paresseuse (Haskell).
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Les expressions ne sont évaluées que quand on en a besoin.
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\section{Typage}
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\section{Résumé}
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En Haskell, toutes les variables sont typées et la vérification est faite à
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l'exécution.
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@ -381,11 +381,237 @@ $$\Rightarrow||P_n||=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}$$
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\section{Méthode des moindres carrés}
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Soit $E$ espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
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$$(f,g)\in E\times E\longrightarrow<f,g>\in\mathbb{R}$$
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$$||f||=\sqrt{<f,f>}$$
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Soit $F\subset E$ (sous-espace vectoriel) de dimension finie.
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\paragraph{Théorème} Une condition nécessaire et suffisante pour que
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$\phi^*\in F$ soit une meilleure approximation de
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$f\in E$ et que $<f.\phi^*,\phi>=0\quad\forall\phi\in F$
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\paragraph{Démonstration}
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\subparagraph{Condition nécessaire}
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Soit $\phi^*\in F$ la meilleure approximation de $f\in E$, supposons
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$\exists\phi_1\in F$ tel que $<f-\phi^*, \phi_1>=\alpha\neq 0$.
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Soit $\phi_2=\phi^*+\beta.\phi_1$ avec $\beta=\frac{\alpha}{||\phi_1||^2}$
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$$
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\begin{array}{l l}
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||f-\phi_2||^2 & =<f-\phi_2, f-\phi_2>\\
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||||
& =<f-\phi^*-\beta.\phi_1,f-\phi^*-\beta.\phi_1>\\
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||||
& =||f-\phi^*||^2 - 2\beta<f-\phi^*,\phi_1>+\beta^2||\phi_1||^2\\
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||||
& =||f-\phi^*||^2 - 2\beta\alpha + \beta^2||\phi_1||^2\\
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||||
&=||f-\phi^*||^2-2\frac{\alpha^2}{||\phi_1||}+\frac{\alpha^2}{||\phi_1||^2}\\
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||||
& =||f-\phi^*||^2-\frac{\alpha^2}{||\phi_1||^2}\\
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||||
& =||f-\phi^*||^2-\frac{\alpha^2}{||\phi_1||^2}\\
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||||
& \Rightarrow||f-\phi_2||<||f-\phi^*|| \text{ce qui est absurde car }\phi^*
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\text{ est déjà la meilleure approximation de } f\\
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& \Rightarrow <f-\phi^*, \phi>=0\forall\phi\in F\\
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\end{array}
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$$
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\subparagraph{Condition suffisante}
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Supposons que $<f-\phi^*,\phi>=0\quad\forall\phi\in F$.
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Soit $\phi_1\in F$ tel que $<f-\phi_1,\phi>=0\quad\forall\phi\in F$.
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$$
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\begin{array}{l l}
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||||
||f-\phi||^2 & =<f-\phi, f-\phi>\\
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||||
& = <(f-\phi_1)-(\phi-\phi_1), (f-\phi_1)-(\phi-\phi_1)>\\
|
||||
& =||f-\phi_1||^2-2<f-\phi_1, \phi-\phi_1>+||\phi-\phi_1||^2\\
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||||
& =||f-\phi_1||^2+||\phi-\phi_1||^2\qquad\forall\phi\in F\\
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||||
& \Rightarrow ||f-\phi_1||\le||f-\phi||\quad\forall\phi\in F\\
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||||
& \Rightarrow ||f-\phi_1||=\min||f-\phi||\Longrightarrow\phi_1=\phi^*\\
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||||
\end{array}
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||||
$$
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\subparagraph{Remarque} Cette condition montre que l'élément $\phi^*$
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représente la projection orthogonale de $f$ sur $F$.\\
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$\phi^*$ est unique
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\subsubsection{Construction de $\phi^*$}
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Soit ${\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n}$ une base de $F$.
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$$\varphi^*=\sum^{n}_{k=1}a^*_k.\varphi_k$$
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||||
La condition d'orthogonalisation $<f-\varphi^*,\varphi_j>=0\quad\forall
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j=1\ldots
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n$\\
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$$\left<f-\sum^n_{k=1}a^*_k.\varphi_k,\varphi_j\right>=0\quad\forall j=1\ldots
|
||||
n$$
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||||
$$<f,\varphi_j>-\sum^n_{k=1}a^*_{k=1}<\varphi_k,\varphi_j>=0\quad\forall
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||||
j=1\ldots n$$
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\[ (S)
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||||
\begin{cases}
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||||
\sum^n_{k=1}<\varphi_k,\varphi_j>a^*_k=<f,\varphi_j>\\
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||||
\forall j=1\ldots n
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||||
\end{cases}
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||||
\]
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||||
C'est un système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues.
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\paragraph{Remarque} Si la base ${\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n}$ est
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orthonormée, la matrice du système sera diagonale.\\
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||||
La matrice du système $(S)$ est la matrice de \emph{Gram}~:
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$$G_{kj}=<\varphi_k,\varphi_j>\forall k=1\ldots n, j=1\ldots n$$
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item \textbf{Cas continu}
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\end{enumerate}
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||||
Soit $\omega$ une fonction poids, position telle que $\int^b_af(x)\omega(x)dx$
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existe $\forall f\in E=\mathcal{C}([a,b])$.
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$<f,g>=\int^b_af(x)g(x)\omega(x)dx$ produit scalaire sur $E$.
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$F=\epsilon$ sous-espace vectoriel de dimension $n$.
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$$(S)\Leftrightarrow
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\begin{cases}
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||||
\sum^n_{k=1}a^*_k\int_a^b\varphi_k(x)\omega(x)dx=\int_a^bf(x)\varphi_j(x)dx\\
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||||
\forall j=1\ldots n\\
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||||
\end{cases}
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||||
$$
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||||
$$\text{La matrice de Gram~: }
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||||
G_{kj}=\int^b_a\varphi_k(x).\varphi_j(x)\omega(x)dx$$
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||||
\begin{enumerate}[(b)]
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||||
\item \textbf{Cas discret}
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\end{enumerate}
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||||
Le produit scalaire discret~: $<f,g>=\sum^N_{i=0}f(x_i)g(x_i)\omega(x_i)$.
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$f$ est donnée aux points $x_i(i=0\ldots N)$
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$$||f||=\sqrt{\sum^N_{i=0}f(x_i)\omega(x_i)}$$
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||||
$$(S)\Leftrightarrow
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\left\{
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||||
\begin{array}{l}
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||||
\sum^n_{k=1}a_k^*
|
||||
\sum^N_{i=0}\varphi_k(x_i).\varphi_j(x_i)\omega(x_i)=
|
||||
\sum^N_{i=0}f(x_i)\varphi_j(x_i)\omega(x_i)\\
|
||||
\forall j=1\ldots n \text{ La matrice } G_{kj}=
|
||||
\sum^N_{i=0}\varphi_k(x_i).\varphi_j(x_i)\omega(x_i)
|
||||
\end{array}\right.
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$$
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\section{Interpolation}
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\subsection{Algo de Lagrange}
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Soit $f(x)$ une fonction continue sur $[a,b]$.
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\subsection{Algo de Newton}
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$f(x)$ est connue en $(n+1)$ points $x_i\in[a,b] (i=1\ldots n+1)$.
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Chercher une fonction $\varphi$ d'un type choisi à l'avance qui interpole
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$f(x)$ sur $[a,b]$, c'est déterminer $\varphi$ tel que
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$\varphi(x_i)\quad\forall i=1\ldots n+1$.
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En général, on cherche $\varphi$ dans l'espace des polynômes.
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\subsection{Polynôme d'interpolation de Lagrange}
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Soit $P_n(x)=\sum_{i=1}^{n+1}L_i(x)f(x_i)$ où les fonctions $L_i$ sont des
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polynômes de degré au plus $n$, telles que $L_i(x_j)=\delta_{ij}$.
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||||
$$L_i(x_j)=0\Rightarrow
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||||
L_i(x)=C(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots(x-x_{n+1})
|
||||
\qquad\forall j\neq i$$
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||||
$$L_i(x_i)=1\Rightarrow
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||||
C=\left[(x_i-x_1)\ldots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots(x-x_{n+1})\right]$$
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||||
$$L_i(x)=\prod^{n+1}_{j=1~j/neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\text{ La base de
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Lagrange}$$
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||||
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$$P_n(x)=\sum^{n+1}_{i=1}L_i(x)f(x_i)=\sum^{n+1}_{i=1}\prod^{n+1}_{j=1~j\neq
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||||
i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}f(x_i)\text{ Le polynôme de Lagrange}$$
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$$P_n(x_k)=\sum^{n+1}_{i=1}L_i(x_k)f(x_i)$$
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||||
$$P_n(x_k)=f(x_k)\qquad\forall k=1\ldots n+1$$
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\paragraph{Exemple} Soit $f$ continue telle que~:
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\begin{tabular}{r|cccc}
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$x_i$ & $0$ & $1$ & $3$ & $4$ \\ \hline
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$f(x_i)$ & $1$ & $3$ & $2$ & $5$
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\end{tabular}
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Construire le polynôme d'interpolation $P_z(x)$ de $f(x)$.
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$$P_z(x)=\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(-1)(-3)(-4)}.1+
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\frac{x(x-3)(x-4)}{1(1-3)(1-4)}.3+
|
||||
\frac{x(x-1)(x-4)}{3(3-1)(3-4)}.2+
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||||
\frac{x(x-1)(x-3)}{4(4-1)(4-3)}.5$$
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||||
$$P_z(x)=\frac{x^3}{2}-\frac{14}{6}x^2+\frac{13}{3}x+1$$
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Pour vérifier que l'on a pas fait d'erreur de calcul, on véfifie que
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$P_z(x_i)=f(x_i)$
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\paragraph{Remarque} L'erreur d'interpolation $\varepsilon(x)=f(x)-P_n(x)$.
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||||
Si $f\in\mathcal{C}^{n+1}[a,b]$ ($f$ est dérivable $n+1$ fois avec ses dérivées
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continues).
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$$\exists\eta_x\in[a,b]/\varepsilon(x)=\prod^{n+1}_{i=1}(x-x_i)
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||||
\frac{f^{(n+1)}(\eta_x)}{(n+1)!}$$
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\subsection{Polynôme d'interpolation de Newton}
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\paragraph{Différence divisées} Soit $f$ une fonction donnée en $n+1$ points
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$x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}~(x_i\neq x_j~i\neq j)$.
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||||
On appelle différence divisée d'ordre $0,1,2,\ldots,n$ de $f$ les expressions
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suivantes~:
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{c|c|c}
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||||
\textbf{Ordre} & \textbf{Notation} & \textbf{Définition} \\ \hline
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||||
$0$ & $f[x_i]$ & $f(x_i)$ \\
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||||
$1$ & $f[x_i,x_j]$ & $\frac{f[x_i]-f[x_j]}{x_i-x_j}~i\neq j$ \\
|
||||
$2$ & $f[x_i,x_j,x_k]$ & $\frac{f[x_i,x_j]-f[x_j,x_k]}{x_i-x_k}~i\neq j\neq
|
||||
k$ \\
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||||
\vdots&\vdots&\vdots\\
|
||||
$n$ & $f[x_1,\ldots,x_{n+1}]$ &
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||||
$\frac{f[x_1,\ldots,x_n]-f[x_2,\ldots,x_{n+1}]}{x_1-x_{n+1}}$\\
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{figure}
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\paragraph{Polynôme de Newton}
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$$f[x,x_1]=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\Rightarrow f(x)=f(x_1)+(x-x_1).f[x,x_1]$$
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||||
$$f[x,x_1,x_2]=\frac{f[x,x_1]-f[x_1,x_2]}{x-x_2}
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||||
\Rightarrow f[x,x_1]=f[x_1,x_2]+(x-x_2).f[x,x_1,x_2]$$
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||||
$$f(x)=f(x_1)+(x-x_1).f[x_1,x_2]+(x-x_1)(x-x_2).f[x,x_1,x_2]$$
|
||||
|
||||
$$P_1(x)=f(x_1)+(x-x_1).f[x_1,x_2]$$
|
||||
$$P_1(x_1)=f(x_1)$$
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||||
$$P_1(x_2)=f(x_1)+(x_2-x_1).\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f(x_1)-f(x_1)+f(x_2)
|
||||
=f(x_2)$$
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||||
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||||
Donc $P_1(x)$ interpole la fonction $f$ aux points $x_1$ et $x_2$.
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En réitérant le procédé, on obtient~:
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$$f(x)=f(x_1)+(x-x_1).f[x_1,x_2]+(x-x_1)(x-x_2)f[x_1,x_2,x_3]+
|
||||
\ldots+(x-x_1)\ldots(x-x_n).f[x_1,\ldots,x_{n+1}]$$
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||||
$$+\prod^{n+1}_{i=1}(x-x_i).f[x,x_1,\ldots,x_{n+1}]\qquad\text{l'erreur}$$
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||||
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||||
$P_n(x)$ est le polynôme d'interpolation de Newton de $f(x)$ aux $(n+1)$ points
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||||
$x_i~(i=1\ldots n+1)$.
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||||
$$\varepsilon(x)=\prod^{n+1}_{i=1}(x-x_i).f[x,x_1,\ldots,x_{n+1}]$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Algorithme de Newton}
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||||
$$P_0(x)=f(x_1)$$
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||||
Pour $m=0,\ldots,n-1$~:
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$$P_{m+1}(x)=P_m(x)+(x-x_1)\ldots(x-x_{m-1}).f[x_1,\ldots,x_{m+1}]$$
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||||
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||||
%% Il cherchait à faire un tableau
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\section{Dérivation numérique}
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@ -777,3 +777,294 @@ Donc~:
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$$F(p)=\frac{1}{b-a}\times\frac{1}{p+a}+\frac{1}{a-b}\times\frac{1}{p+b}$$
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||||
$$\mathcal{F}(z)=\frac{1}{b-a}\times\frac{z}{z-e^{-aT}}+
|
||||
\frac{1}{a-b}\times\frac{z}{z-e^{-bT}}$$
|
||||
|
||||
\subsection{Méthode trigonométrique}
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\paragraph{Exemple}
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$$f(t)=\sin(\omega_0.t).u(t)$$
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\paragraph{Calcul de $\mathcal{F}(z)$}
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||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}[domain=0:4]
|
||||
\draw[very thin,color=gray] (-1.2,-1) grid (4.2,1.0);
|
||||
\draw[->] (-1.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$t$};
|
||||
\draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[above] {};
|
||||
\draw[color=blue,domain=-1:0]
|
||||
plot (\x,0);
|
||||
\draw[color=blue]
|
||||
plot (\x,{sin(2*\x r)})
|
||||
node[right] {$f(x)$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
On utilise les formules d'Euler~:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos\theta=\frac{e^{j\theta+e^{-j\theta}}}{2}\\
|
||||
\sin\theta=\frac{e^{j\theta-e^{-j\theta}}}{2j}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
$$Z\left[f(t)\right]=
|
||||
Z\left[\frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2j}.u(t)\right]
|
||||
=\frac{1}{2j}\times\left[Z(e^{j\omega_0t}.u(t))-
|
||||
Z(e^{-j\omega_0t}.u(t))\right]$$
|
||||
|
||||
$$a=-j\omega_0\qquad a=+j\omega_0$$
|
||||
$$Z\left[f(t)\right]=\frac{1}{2j}.\left[\frac{z}{z-e^{j\omega_0T}}-
|
||||
\frac{z}{j-e^{-j\omega_0T}}\right]$$
|
||||
$$=\frac{z}{2j}\left[\frac{z-e^{-j\omega_0T}-z+
|
||||
e^{j\omega_0T}}{z^2-(e^{j\omega_0T}+e^{-j\omega_0T})z+1}\right]$$
|
||||
$$=\frac{z.\sin(\omega_0T)}{z^2-2\cos(\omega_0T)z+1}=Z\left[(
|
||||
\sin(\omega_0T).u(t))\right]$$
|
||||
|
||||
\subsubsection{Propriétés de la transformée en $z$}
|
||||
|
||||
\paragraph{Linéarité}
|
||||
|
||||
$$Z\left[\lambda.(f(t)+\mu.g(t))\right]=
|
||||
\lambda.\mathcal{F}(z)+\mu.g(z)\forall\lambda,\mu\text{ constants}$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Théorème du retard}
|
||||
|
||||
Rappel dans le cas continu~:
|
||||
$$\mathcal{L}\left[f(t-\tau)\right]=e^{\tau.p}.F(p)$$
|
||||
$$Z\left[f(t-k.T)\right]=z^{-k}.\mathcal{F}(z)$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Théorème de la valeur initiale/finale}
|
||||
|
||||
Rappel dans le cas continu~:
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\lim_{t\rightarrow 0}f(t)=\lim_{p\rightarrow+\infty}\left[p.F(p)\right]\\
|
||||
\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=\lim_{p\rightarrow 0}\left[p.F(p)\right]
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
$$\lim_{k\rightarrow 0}f(k.T)=
|
||||
\lim_{z\rightarrow +\infty}\left[\mathcal{F}(z)\right]$$
|
||||
$$\lim_{k\rightarrow+\infty}f(kT)=
|
||||
\lim_{z\rightarrow 1}\left[\frac{z-1}{z}.\mathcal{F}(z)\right]$$
|
||||
$$\Rightarrow\text{régime permabebt en automatique}$$
|
||||
|
||||
\subsection{Transformée en $z$ inverse}
|
||||
|
||||
\paragraph{Définition} $$Z^{-1}\left[\mathcal{\mathcal{F}}(z)\right]=
|
||||
\left\{f(kT)\right\}$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Remarque} Il existe une infinité de fonctions continues du temps qui
|
||||
possèdent la même transformée en $z$~:
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}[domain=-0.5:4]
|
||||
\draw[very thin,color=gray] (-0.2,-0.2) grid (4.2,3.1);
|
||||
\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$t$};
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||||
\draw[->] (0,-0.2) -- (0,3.2) node[above] {};
|
||||
\draw[color=blue,smooth]
|
||||
plot coordinates {(-0.2,1.1) (0,0.7) (1,2.2) (1.4,2.6) (2,1.7) (2.5,1.9)
|
||||
(3,1.5) (3.5,1) (4.2,1.1)}
|
||||
node[right] {$f(x)$};
|
||||
\draw[color=orange,smooth]
|
||||
plot coordinates {(-0.2,0.9) (1,2.2) (2,1.7) (2.5,2.1) (3,1.5) (3.8,0.1)
|
||||
(4.2,0.3)}
|
||||
node[right] {$g(x)$};
|
||||
\draw[color=black] plot coordinates {(1,2.2) (1,0)} node[left] {$T$};
|
||||
\draw[color=black] plot coordinates {(2,1.7) (2,0)} node[left] {$2T$};
|
||||
\draw[color=black] plot coordinates {(3,1.5) (3,0)} node[left] {$3T$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{figure}
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$f(t)\neq g(t)$ mais $f(kT)=g(kT)\quad\forall k$
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\paragraph{$\mathcal{F}(z)=g(z)$}
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$$Z^{-1}\left[\mathcal{F}(z)\right]=Z^{-1}\left[g(z)\right]\neq f(t)\neq g(t)$$
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$$=\left\{f(kT)\right\}=g\left\{kT\right\}$$
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\subsubsection{Remarque sur les notations}
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$$Z^{-1}\left[\mathcal{F}(z)\right]=\left\{f(kT)\right\}_{k=0,1,\ldots}$$
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$$Z^{-1}\left[\mathcal{F}(z)\right]=\left\{f(kT)\right\}$$
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À éviter ~:
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$$Z^{-1}\left[\mathcal{F}(z)\right]=f(kT)$$
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La transformée en $Z$ inverse est une collection de nombres. Ce n'est pas un
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seul nombre ou une fonction continue.
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\subsubsection{Quatre méthodes de calcul de $Z^{-1}$}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Deux méthodes analytiques~:} (cas simples) $f(kT)=$ fonction de
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$k$ et de $T$.
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\item \textbf{Deux méthodes numériques~:} (cas général) $f(0)=\ldots$,
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$f(T)=\ldots$, $f(2T)=\ldots$, \ldots, pour les 50 premiers échantillons
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par exemple.
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\end{itemize}
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\paragraph{Méthode des résidus}
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$$f(nT)=\sum\text{résidus de }\mathcal{F}(z).z^{n-1}$$
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\subparagraph{Cas particulier}
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$\mathcal{F}(z)$ est une fraction rationnelle en $z$ n'ayant que des pôles
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simples $z_i$.
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$\rightarrow$ fonction auxiliaire~:
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$$g(z)=\mathcal{F}(z).z^{n-1}=\frac{N(z)}{D(z)}$$
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On pose $D'(z)=\frac{dD(z)}{dz}$.
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La formule d'inversion devient~:
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$$f(nT)=\sum_i\frac{N(z_i)}{D'(z_i)}$$
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\paragraph{Exemple}
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$$\mathcal{F}(z)=\frac{z(z+1)}{(z-a)(z-b)}$$
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Calculer la transformée en $z$ inverse de $\mathcal{F}(z)$, soit $Z^{-1}\left[
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\mathcal{F}(z)\right]$.
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Ici~: $\mathcal{F}(z)$ a deux pôles simples~: $z_1=a$ et $z_2=b$ (méthode 1
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applicable).
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$\rightarrow$ fonction auxiliaire~:
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$$g(z)=\mathcal{F}(z).z^{n-1}=\frac{z^n(z+1)}{(z-a)(z-b)}=\frac{N(z)}{D(z)}$$
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$$D(z)=(z-a)(z-b)\Rightarrow D'(z)=2z-a-b$$
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||||
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$$f(nT)=\sum_i\frac{N(z_i)}{D'(z_i)}=\frac{N(a)}{D'(a)}+\frac{N(b)}{D'(b)}=
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\frac{a^n(a+1)}{a-b}+\frac{b^n(b+1)}{b-a}$$
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$$Z^{-1}\left[\frac{z(z+1)}{(z-a)(z-b)}\right]=
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\left\{\frac{a+1}{a-b}a^n+\frac{b+1}{b-a}.b^n\right\}=
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||||
\left\{1;\frac{a+1}{a-b}.a+\frac{b+1}{b-a}.b;\ldots\right\}$$
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\paragraph{Développement en fractions élémentaires}
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Cette méthode s'inspire de la méthode classique de calcul de
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$\mathcal{L}^{-1}$.
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Rappel~: $F(p)$ est une fraction rationnelle n'ayant que des pôles simples.
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$$\mathcal{L}^{-1}\left[F(p)\right]?$$
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On décompose $F(p)$ en éléments simples~:
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$$F(p)=\frac{A}{p+a}+\frac{B}{p+b}+\ldots$$
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||||
La $\mathcal{L}^{-1}$ s'obtient terme à terme~:
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$$f(t)=\left[A.e^{-at}.u(t)+B.e^{-bt}.u(t)+\ldots\right]$$
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{c|c|c}
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$t$ & $p$ & $z$\\\hline
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||||
$e^{-at}.u(t)$ & $\frac{1}{p+a}$ & $\frac{z}{z-e^{-aT}}$
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||||
\end{tabular}
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\end{figure}
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\subparagraph{Bonne méthode}
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\begin{itemize}
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\item Fonction auxiliaire~:
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$$g(z)=\frac{\mathcal{F}(z)}{z}$$
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||||
\item On décompose $g(z)$ en éléments simples~:
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$$g(z)=\frac{A}{z+a}+\frac{B}{z+b}$$
|
||||
\item On multiplie les deux membres par $z$~:
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$$\mathcal{F}(z)=\frac{A.z}{z+a}+\frac{B.z}{z+b}+\ldots$$
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\end{itemize}
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\paragraph{Exemple}
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$$\mathcal{F}(z)=\frac{2z}{(z-1)(z-0,5)}$$
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Calculer $Z^{-1}\left[\mathcal{F}(z)\right]$ par la méthode 2 de développement
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en fractions élémentaires.
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\begin{itemize}
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\item fonction
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auxiliaire~: $$g(z)=\frac{\mathcal{F}(z)}{z}=\frac{2}{(z-1)(z-0,5)}
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=\frac{4}{z-1}-\frac{4}{z-0,5}$$
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||||
\item on revient à $\mathcal{F}(z)$~:
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||||
$$\mathcal{F}(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{4z}{z-0,5}$$
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||||
On recheche les solutions dans la table, via $a:0,5=e^{-aT}$,
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$f(nT)=4(1-e^{-anT})$
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$$f(nT)=4.u(nT)-4.e^{-anT}.u(nT)$$
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||||
Maintenant, on doit éliminer $a$.
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||||
$$f(nT)=4\left[1-(0,5)^n\right]$$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
$$Z^{-1}\left[\frac{2z}{(z-1)(z-0,5)}=\left\{4
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||||
\left[1-(0,5)^n\right]\right\}\right]=
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||||
\left\{0;2;3;3,5;\ldots\right\}$$
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||||
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||||
\paragraph{Méthode 3~: Division selon les puissances croissantes de $z^{-1}$}
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||||
Cette méthode se base sur la définition de la transformée en $z$~:
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$$\mathcal{F}(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}f(nT).z^{-n}$$
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\subparagraph{Problème inverse}
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\begin{itemize}
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\item On recherche un développement de $\mathcal{F}(z)$ sous la forme d'un
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polynome en $z^{-1}$.
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||||
\item $f(nT)$ est le coefficient dans ce polynôme de $z^{-1}$
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||||
\item ce développement peut s'obtenir par division polynomiale
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||||
\end{itemize}
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||||
\subparagraph{Exemple}
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$$\mathcal{F}(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z^2-0,4.z+0,1)}$$
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||||
$$\mathcal{F}(z)=\frac{z^2}{z^3+1,4z^2+0,5z-0,1}$$
|
||||
$$\mathcal{F}(z)=\frac{z^{-1}}{1-1,4z^{-1}+0,5z^{-2}-0,1z^{-3}}$$
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||||
On divise haut et bas par $z^3$ pour n'avoir que des puissances de $z^{-1}$
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||||
\paragraph{Méthode 4~: Méthode de l'équation aux différences}
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||||
Théoriquement, \emph{l'équation aux différences} est la transposition au cas
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||||
discret de l'équation différentielle/
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||||
\subparagraph{Exemple} $$\frac{X(z)}{Y(z)}=\frac{0,3.z}{z-0,2}$$
|
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item On suppose connue $Z^{-1}\left[Y(z)\right]$ soit
|
||||
$\left\{y(nT)\right\}$.
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||||
\item On cherche $Z^{-1}\left[X(z)\right]$ soit $\left\{x(nT)\right\}$.
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||||
\end{itemize}
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Propriété (théorème du retard)~:
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$$Z\left[f(t-kT)\right]=z^{-k}.\mathcal{F}(z)\qquad k\text{ entier}$$
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$$Z\left[z^{-k}.\mathcal{F}(z)\right]=f\left[(n-k)T\right]$$
|
||||
$$Z^{-1}\left[\mathcal{F}(z)\right]=f(nT)$$
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||||
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||||
On divise haut et bas par $z$~:
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$$0,3.Y(z)=X(z)-0,2z^{-1}.X(z)$$
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||||
On applique $Z^{-1}$~:
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$$0,3.y(nT)=x(nT)-0,2z.x\left[(n-1)T\right]$$
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||||
On a donc une équation aux différences du 1\ier{} ordre.
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On pose~: $y(nT)=y_n$ et $x(nT)=z_n$
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Équation aux différences~: $x_n=0,3.y_n+0,2.x_{n-1}$
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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||||
\begin{tabular}{c||c|c||c}
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||||
$n$ & $0,3.y_n$ & $0,2.x_{n-1}$ & $x_n$\\\hline
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||||
$0$ & $0,3$ & $0$ & $0,3$\\\hline
|
||||
$1$ & $0,3$ & $0,06$ & $0,36$\\\hline
|
||||
$2$ & $0,3$ & $0,072$ & $0,372$\\
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||||
\end{tabular}
|
||||
\end{figure}
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||||
$$Z^{-1}\left[X(z)\right]=\left\{0,3;0,36;0,372;\ldots\right\}$$
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\underline{Critère d'arrêt}
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\begin{enumerate}
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\item Nombre d'échantillons
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\item Convergence~: $x_n\longrightarrow_{n\rightarrow+\infty} L$
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||||
\end{enumerate}
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Si $L$ existe~: $L=0,3+0,2L\Rightarrow L=\frac{0,3}{0,8}=\frac{3}{8}=0,375$.
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C'est la méthode la plus utilisée car facile à programmée.
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Reference in New Issue
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