Cours de la semaine
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@ -611,8 +611,410 @@ $$P_0(x)=f(x_1)$$
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Pour $m=0,\ldots,n-1$~:
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$$P_{m+1}(x)=P_m(x)+(x-x_1)\ldots(x-x_{m-1}).f[x_1,\ldots,x_{m+1}]$$
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%% Il cherchait à faire un tableau
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\paragraph{Exercice 3} Sur $[-1,1]$ on considère la fonction $f(x)=X^3-X^2$
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\begin{enumerate}
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\item Décomposer $f(x)$ dans la base de Chebyshev.
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\item En déduire $P^*_2(x)$ polynôme de meilleur approximation de degré 2 de
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$f(x)$.\\
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Donner l'erreur d'approximation $||f-P^*||$
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$$||f||=max|f(x)|\qquad -1\leq x\leq 1$$
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\end{enumerate}
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\[
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\begin{array}{l l}
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f(x)= & a_0.T_0(x)+a_1.T_1(x)+a_2.T_2(x)+a_3.T_3(x)$$\\
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\begin{cases}
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T_0(x)=1\\
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T_1(x)=x\\
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T_2(x)=2x^2-1\\
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T_3(x)=4x^3-3x
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\end{cases}
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& a_0 + a_1x + a_2(2x^2-1) + a_3 (4x^3 - 3x)\\
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& a_0 + a_1x + 2a_2x^2 - a_2 + 4a_3 + 4a_3x^3 - 3a_3x\\
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||||
& a_0 - a_2 + (a_1 - 3a_3) x + 2a_2x^2 + 4a_3 + 4a_3x^3\\
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\end{array}
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\]
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\[
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\Rightarrow
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\begin{cases}
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a_0 - a_2 = 0\\
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a_1 - 3a_3 = 0\\
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2a_1 = -1\\
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4a_3=1
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\end{cases}
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\Rightarrow
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\begin{cases}
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a_0=-\frac{1}{2}\\
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a_2=-\frac{1}{2}\text{ et }a_1=\frac{3}{4}\\
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a_4=\frac{1}{4}
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\end{cases}
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\]
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Donc
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$f(x)=-\frac{1}{2}T_0(x)+\frac{3}{4}T_5(x)-\frac{1}{2}T_2(x)+\frac{1}{4}T_3(x)$
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$$\epsilon=f(x)-P_2(x)=\frac{1}{4}=T_3(x)$$
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$$M=||\epsilon||=\max|\epsilon(x)|=\frac{1}{4}$$
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\[
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\begin{cases}
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T_3(x)=\cos(3\theta)\\
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\theta=\arccos(x)
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\end{cases}
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\]
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\subparagraph{Théorème} Si la fonction erreur $\epsilon(x)$ atteint la veuleur
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extrême alternée $M$ et $-M$ en au moins $(n+2)$ points, alors
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$P_n(x)=P^*_n(x)$.
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$$\epsilon(x)=\frac{1}{4}T_3(x)=
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\frac{1}{4}\cos(3\theta)\qquad\theta=\arccos(x)$$
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Les $x_k=\cos\frac{k\pi}{n}\quad n=3$.
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\[
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\begin{array}{l l l}
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||||
k=0 & x_0=1 & \varepsilon(x_0)=\frac{1}{4}=M\\
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||||
k=1 & x_1=\cos\frac{\pi}{3} & \varepsilon(x_1)=-\frac{1}{4}\\
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||||
k=2 & x_2=\cos\frac{2\pi}{3} & \varepsilon(x_2)=\frac{1}{4}\\
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||||
k=3 & x_3=\cos\pi & \varepsilon(x)=-\frac{1}{4}
|
||||
\end{array}
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||||
\Rightarrow
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||||
\begin{cases}
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||||
x_0=1\\
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||||
x_1=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\\
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||||
x_2=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\\
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||||
x_3=\cos\pi=-1
|
||||
\end{cases}
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\Rightarrow
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P_2(x)=P_2^*(x)
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\]
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Donc~:
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\[
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\begin{array}{l l}
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||||
P_2^*(x)= & -\frac{1}{2}T_0(x)+\frac{3}{4}T_1(x)-\frac{1}{2}T_2(x)\\
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||||
& = -4+\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}(2x^3-1)\\
|
||||
& = -\frac{1}{2}+\frac{3}{4}X - x^2+\frac{1}{2}\\
|
||||
& = \frac{3}{4}x = \frac{3}{4}x-x^2
|
||||
\end{array}
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||||
\]
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\paragraph{Exercice 4} Soit $f(x)$ une fonction continue donnée aux points
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$x_i(i=1,2,3,4)$.
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$f(0)=-5, f(1)=17, f(2)=115, f(4)=143$
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||||
En utilisant le polynôme d'interpolation de Lagrange, interpoler $f(2)$.
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$$f(0)=-5, f(1)=17, f(2)=115. f(4)=143$$
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||||
$$P_n(x)=\sum_{i=1}^{n+1}f(x_i)$$
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$$L_i(x)=\prod^{n+1}_{j=1}\left(\frac{x-x_i}{x_i-x_j}\right)$$
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||||
Interpolons $f(2)$~:
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$$L_1(2)=\frac{(2-1)(2-3)(2-4)}{(-1)(-3)(-4)}=\frac{-2}{12}=\frac{-1}{6}$$
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$$L_2(2)=\frac{(2-0)(2-3)(2-4)}{1(-2)(-3)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
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||||
$$L_3(2)=\frac{2(2-1)(2-4)}{3(3-1)(3-4)}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$$
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||||
$$L_4(2)=\frac{2(2-1)(2-3)}{4(3)(1)}=\frac{-2}{12}=\frac{-1}{6}$$
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||||
La valeur interpolée est~: $f(2)\simeq P_3(2)=-\frac{1}{6}(-5)+\frac{2}{3}(17)
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+\frac{2}{3}(115)-\frac{1}{6}(143)\simeq 65$
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\paragraph{Exercice 5} Soit $f\in C^{n+1}[a,b]$, $P_n(x)$ son polynôme
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d'interpolation de $f(x)$ aux points $x_i\in[a,b]$ $(i=1\ldots n+1)$
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$$\varepsilon(x)=f(x)-P_n(x)\quad\text{erreur d'interpolation}$$
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Montrer qu'il existe $\eta_x\in[a,b]$ tel que $\varepsilon(x)=
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\prod^{n+1}_{i=1}(x-x_i)\frac{f(\eta_x)}{(n+1)!}$
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\subparagraph{Rappel} Théorème de Rolle
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$f$ continue, dérivable sur $[a,b]$. Si $f(a)=f(b)$ alors $\exists C\in]a,b]$
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tel que $f'(c)=0$.
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$$\varepsilon(x_i)=0\text{ car }P_n(x_i)=f(x_i)$$
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$$\varepsilon(x)=\prod^{n+1}_{i=1}(x-x_i)A_x\qquad x.f(x_i)\quad x\neq
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x_i\quad A_x\text{ quantité inconnue}$$
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Soit la fonction
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$\varphi(y)=f(y)-P_n(y)-\prod^{n+1}_{i=1}(y-x_i)A_x\quad\forall y\in[a,b]$
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\[
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\begin{cases}
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||||
\varphi(x_i)=0\qquad\forall i=1\ldots n+1\\
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\varphi(x)=0
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||||
\end{cases}
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\]
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$\varphi$ admet $(n+2)$ racines. $\varphi\in C^{n+1}$ car $f\in C^{n+1}$.
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On applique le théorème de Rolle $\varphi'$ admet au moins $(n+1)$ racines.
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On applique le théorème de Rolle $\varphi''$ admet au moins $n$ racines.
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On applique le théorème de Rolle $\varphi^(3)$ admet au moins $n-1$ racines.
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\hspace{6cm}\vdots
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On applique le théorème de Rolle $\varphi^(p)$ admet au moins $(n+1)-p$
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racines.
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Si $p=n+1$ $\Rightarrow\varphi^{(n+1)}$ admet au moins 1 racine
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$\eta_x\quad\varphi^{(n+1)}(\eta_x)=0$
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or~:
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$$\varphi^{(n+1)}(y)=f^{(n+1)}(y)-0-(n+1)! A_x$$
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||||
$$\varphi^{(n+1)}(\eta_x)=0\Rightarrow f^{(n+1)}(\eta_x)-(n+1)!
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||||
A_x=0\Rightarrow A_x=\frac{f^{(n+1)}(\eta_x)}{(n+1)!}$$
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Donc~:
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$$\varepsilon(x)=\prod^{n+1}_{i=1}(x-x_i)\frac{f^{(n+1)(\eta_x)}}{(n+1)!}$$
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$$f\left[x_1, \ldots, x_{n+1}\right]=\frac{f\left[x_1,\ldots,
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x_n\right]-f\left[x_2,\ldots, x_{n+1}\right]}{x_1 - x_{n+1}}$$
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\section{Dérivation numérique}
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Lorsqu'une fonction $f(x)$ dont on veut calculer les dérivées siccessives
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$f'(x)$, $f''(x),\ldots$ est données par les valeurs $f(x_i)$, on procède de la
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manière suivante~:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f(x)\simeq g(x)\qquad\text{(polynôme d'interpolation)}$.
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\item $f^(k)(x)\simeq g^{(k)}\simeq g^{(k)}(x)$
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\end{enumerate}
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\subsection{Dérivée d'un polynôme par division synthétique}
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$$f(x)\simeq P_n(x)=\sum^{n}_{j=0}a_j.x^j$$
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Soit à calculer~:
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$$f^{(k)}(x=t)\qquad\text{dérivée d'ordre }k$$
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$$f^{(k)}\simeq P^{(k)}_n(x)=\sum^{n}_{j=k}j(j-1)\ldots(j-k+1)a_j.x^{j-k}$$
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Il suffit alors de calculer $P_n^{(k)}(x=t)$.
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$$P_n(x) | x-t\qquad\text{(division par )x-t}$$
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$$P_n(x)=(x-t)Q_{n-1}(x)+R_n\quad Q_{n-1}(x)=b_{n-1}X^{n+1}+\ldots+b+0$$
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||||
\[
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||||
\begin{cases}
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||||
b_{n-1}=a_n\\
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||||
b_{j-1}=t.b_j+a_j\quad j=n-1,\ldots, 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
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||||
\paragraph{Exemple} $$P_4(x)=2x^4-5x^3+x^2-7x+6\qquad t=2$$
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\begin{figure}[h]
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\centering
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||||
\begin{tabular}{c|cccccc}
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||||
$j$ & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 &\\\hline
|
||||
$P_4 a_j$ & 2 & -5 & 1 & -7 & 6 &\\
|
||||
$Q_3 b_j$ & & 2 & -1 & -1 & -9 & -12\\
|
||||
\end{tabular}
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||||
\end{figure}
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||||
On peut poursuivre le processus~:
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\begin{figure}[h]
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||||
\centering
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||||
\begin{tabular}{c|cccccc}
|
||||
$j$ & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & Reste\\\hline
|
||||
$P_4\quad a_j$ & 2 & -5 & 1 & -7 & 6 &\\
|
||||
$Q_3\quad b_j$ & & 2 & -1 & -1 & -9 & $-12 = R_4$\\
|
||||
$Q_2\quad c_j$ & & & 2 & 3 & 5 & $1 = R_3$\\
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||||
$Q_1\quad d_j$ & & & & 2 & 7 & $19 = R_2$\\
|
||||
$Q_0\quad e_j$ & & & & & 2 & $11 = R_1$\\
|
||||
\end{tabular}
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||||
\end{figure}
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||||
$$R_0=a_n=2=Q_0$$
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||||
|
||||
\[
|
||||
\left.
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
P_4(x)=(x-2).Q_3(x)-12\\
|
||||
Q_3(x)=(x-2).Q_2(x)+1\\
|
||||
Q_2(x)=(x-2).Q_1(x)+19\\
|
||||
Q_1(x)=(x-2).Q_0(x)+11\\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right\}
|
||||
P_4(x)=-12+(x-2)+19(x-2)^2+11(x-2)+2(x-2)^4
|
||||
\]
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||||
Ainsi les $R_k$ sont les coefficients du développement de $P_n(x)$ en puissance
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de $(x-t)\quad(t=2)$.
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D'une manière générale~:
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$$P_n(x)=\sum^n_{l=0}R_e(x-t)^{n-l}$$
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||||
Em dérivant $k$ fois~:
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$$P_n^{(k)}(x)=\sum^{n-k}_{l=0}(n-l)\ldots(n-l-k+1)R_e(x-t)^{n-l-k}$$
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||||
$$x=t\Rightarrow P_n^{(k)}(t)=k!R_{n-k}$$
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||||
$$f^{(k)}(t)\simeq k!R_{n-k}$$
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||||
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\paragraph{Exercice 6} $f(x)$ continue, donnée aux points~: $f(-2)=69$,
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||||
$f(2)=17$, $f(3)=24$, $f(5)=-22$
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||||
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Construire le tableau des différences divisées.
|
||||
\item En déduire le polynôme d'interpolation de Newton.
|
||||
\item En utilisant l'algorithme de division synthétique, interpoler $f(4)$ et
|
||||
donner les approximations des dérivées $f'(4)$, $f''(4)$, $f'''(4)$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\begin{figure}[h]
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||||
\centering
|
||||
\begin{tabular}{c|cccc}
|
||||
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
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||||
$-2$ & \textbf{69} & \textbf{-13} & & \\
|
||||
$2$ & 17 & & \textbf{4} & \textbf{-2}\\
|
||||
$3$ & 24 & 7 & -10 & \\
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||||
$5$ & -22 & -23 & & \\
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{figure}
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Pour calculer les machins de ce tableau~:
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$$f[x_i;x_j]=\frac{f[x_i]-f[x_j]}{x_j-x_i}=\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}$$
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||||
|
||||
$$f[-2,2,3]=\frac{f[2,3]-f[-2,2]}{5}$$
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||||
|
||||
\subparagraph{2. Le polynôme d'interpolation de Newton}
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||||
$$P_3(x)=f[-2]+(x+2)f[-2,2]+(x+2)(x-2)f[-2,2,3]+(x+2)(x-2)(x-3)f[-2,2,3,5]$$
|
||||
On remplace ensuite les coefficients~:
|
||||
$$P_3(x)=69-13(x+2)+4(x+2)(x-2)-2(x+2)(x-2)(x-3)$$
|
||||
On développe tout pour avoir le polynôme dans sa forme canonique (utile pour la
|
||||
question suivante)~:
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||||
$$P_3(x)=-2x^3+10x^2-5x+3$$
|
||||
On peut vérifier que ce polynôme interpole bien les points donnés de $f$.
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||||
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||||
\subparagraph{3. Algorithme de division synthétique}
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Pour $Q_1$,0~: 4 (coeff) * -2 (valeur précédente sur la ligne) + 2 (valeur au dessus) = -6
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||||
\begin{figure}[h]
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\centering
|
||||
\begin{tabular}{c|ccccc}
|
||||
$j$ & 3 & 2 & 1 & 0 & Reste\\\hline
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||||
$P_3\quad a_j$ & -2 & 10 & -5 & 3 & \\
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||||
$Q_2\quad b_j$ & & -2 & 2 & 3 & $15 = R_3$\\
|
||||
$Q_1\quad c_j$ & & & -2 & -6 & $-21 = R_2$\\
|
||||
$Q_0\quad d_j$ & & & & -2 & $-14 = R_1$\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{figure}
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||||
$$P_3(x)=15-21(x-4)-14(x-4)^2-2(x-4)^3$$
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||||
$$f(4)\simeq P_3(4)=15$$
|
||||
|
||||
$$f^{(k)}(t)\simeq k!_{n-k}$$
|
||||
$$f'(4)\simeq 1!R_2=-21$$
|
||||
$$f''(4)\simeq 2!R_1=-28$$
|
||||
$$f'''(4)\simeq 3!R_0=-12$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Exercice 7} Soit $f(x)$ continue, donnée aux points $f(-2)=32$,
|
||||
$f(-1)=26$, $f(0)=30$, $f(1)=28$
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Construire le tableau des différences divisées.
|
||||
\item En déduire le polynôme d'interpolation de Newton.
|
||||
\item En utilisant l'algorithme de division synthétique, interpoler $f(2)$ et
|
||||
donner les approximations des dérivées $f'(2)$, $f''(2)$, $f'''(2)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tabular}{c|cccc}
|
||||
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
|
||||
$-2$ & \textbf{-32} & \textbf{58} & & \\
|
||||
$-1$ & 26 & & \textbf{27} & \textbf{8}\\
|
||||
$0$ & 30 & 4 & -3 & \\
|
||||
$1$ & 28 & -2 & & \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\subparagraph{2. Le polynôme d'interpolation de Newton}
|
||||
$$P_3(x)=f[-2]+(x+2)f[-2,-1]+(x+2)(x+1)f[-2,-1,0]+(x+2)(x+1)(x)f[-2,-1,0]$$
|
||||
On remplace ensuite les coefficients~:
|
||||
$$P_3(x)=-32-58(x+2)-27(x+2)(x+1)-8(x+2)(x+1)(x)$$
|
||||
On développe tout pour avoir le polynôme dans sa forme canonique (utile pour la
|
||||
question suivante)~:
|
||||
$$P_3(x)=8x^3-3x^2-7x+30$$
|
||||
On peut vérifier que ce polynôme interpole bien les points donnés de $f$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tabular}{c|ccccc}
|
||||
$j$ & 3 & 2 & 1 & 0 & Reste\\\hline
|
||||
$P_3\quad a_j$ & 8 & -3 & -7 & 30 & \\
|
||||
$Q_2\quad b_j$ & & 8 & 13 & 19 & $68 = R_3$\\
|
||||
$Q_1\quad c_j$ & & & 8 & 29 & $77 = R_2$\\
|
||||
$Q_0\quad d_j$ & & & & 8 & $45 = R_1$\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
$$P_3(x)=68+77(x-2)+45(x-2)^2+8(x-2)^3$$
|
||||
$$f(2)\simeq P_3(2)=68$$
|
||||
|
||||
$$f^{(k)}(t)\simeq k!_{n-k}$$
|
||||
$$f'(2)\simeq 1!R_2=77$$
|
||||
$$f''(2)\simeq 2!R_1=90$$
|
||||
$$f'''(2)\simeq 3!R_0=48$$
|
||||
|
||||
\section{Intégration numérique}
|
||||
|
||||
On se propose d'étudier quelques méthodes numériques permettant d'approcher
|
||||
$\int^b_af(x)dx$. De telles méthodes s'imposent en particulier lorsque la
|
||||
primitive $F(x)$ de $f(x)$ n'est pas connue, ou dans le cas où $f(x)$ n'est
|
||||
donnée que par points.
|
||||
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Par exemple pour~: $\int^b_a e^{-x^2}dx\simeq\sum^n_{i=0}\omega_i f(x_i)$
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\subsection{Méthode générale}
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$$I=\int^b_a f(x)p(x)dx\quad p(x):\text{fonction poids, }>0$$
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L'idée est d'utiliser les valeurs de $f$ aux points $x_i\in[a,b]\quad i=0\ldots
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n$.
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$$\int^b_a f(x)p(x)dx=\sum^a_{i=0}\omega_i.f(x_i)+E\quad E\text{ l'erreur}$$
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Les coefficients $\omega_i$ sont déterminés de telle sorte que $E$ soit nulle
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lorsque $f(x)$ appartient à une certaine classe de fonctions (les polynômes de
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degré $\le N$).
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$$f(x)=\phi(x)+E(x)$$
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$$\phi(x_i)=f(x_i)\quad i=0\ldots n$$
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$$\int^b_a f(x)p(x)dx=\int^b_a\phi(x)p(x)dx+\int^b_a E(x)p(x)dx$$
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$$\phi(x)=\sum^n_{j=0}L_j(x)f(x_j)\quad\text{Lagrange}$$
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$$\int^b_a f(x)p(x)dx=\int^b_a\left.\sum^n_{j=0}L_j(x)f(x_j)p(x)dx\right.+
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\int^b_a E(x)p(x)dx$$
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$$=\sum^n_{j=0}\left(\int^b_a L_j(x)p(x)dx\right)f(x_j)+\int^b_a E(x)p(x)dx$$
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$$\int^b_a f(x)p(x)dx=\sum^n_{j=0}\omega_jf(x_j)+E$$
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$$\text{avec }\omega_j=\int^b_a L_j(x_j)p(x_j)dx\text{ et
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}E=\int^b_aE(x)p(x)dx$$
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\subsection{Quelques exemples de méthodes composées}
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$$[\alpha,\beta]\qquad I=\int^\beta_\alpha f(x)dx$$
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La méthode consiste à décomposer $[\alpha,\beta]$ en $k$ intervalles
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$[\alpha_i,\alpha_{i+1}]\quad i=0,1,\ldots k$ et ensuite à approcher chaque
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$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx$ en remplaçant $f(x)$ par son polynôme
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d'interpolation.
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\paragraph{Exemple} $t_i\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$
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$$f(x)\simeq P_0(x)=f(t_i)\quad\forall x\in\left[\alpha_i,\alpha_{i+1}\right]$$
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$$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx\simeq(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(t_i)$$
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$$\int^\beta_\alpha
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f(x)dx\simeq\sum^{k-1}_{i=0}\left(\alpha_{i+1}-\alpha_i\right)f(t_i)\quad\text{Somme
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de Riemann}$$
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@ -1,5 +1,5 @@
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\title{Mathématiques}
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\author{Le prof}
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\title{Approximation, interpolation, optimisation}
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\author{Le prof de maths}
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\date{ING1}
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\maketitle
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