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@@ -210,6 +210,175 @@ même pour $r_2^n$.
 La solution générale de $(*)$ est $T_n=\alpha.r_1^n+\beta.r_2^n$ où $\alpha$ et
 $\beta$ sont déterminées par les conditions initiales.
 
+\vspace{1em}
+
+\begin{enumerate}[4.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$T_{n+1}(x)=2\times T_n(x)-T_{n-1}(x)$$
+
+$$T_n(x)=\cos(n.\theta)\qquad\theta=\arccos(x)\Leftrightarrow$$
+
+$$X=\cos(\theta)\Rightarrow dx=-\sin(\theta)d\theta$$
+
+$$\int^1_{-1}\frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=
+\int^0_\pi\frac{\cos(n.\theta).\cos(m\theta)}{|\sin(\theta)|}(-\sin(\theta)d\theta)
+=\int^\pi_0\cos(n\theta)cos(m\theta)d\theta$$
+$$\int^\pi_0\cos(n\theta).\cos(m\theta)d\theta=
+\frac{1}{2}\int^\pi_0\left(\cos(n+m)\theta+\cos(n-m)\theta\right)d\theta$$
+$$=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(n+m)\theta}{n+m}+\frac{\sin(n-m)
+\theta}{n-m}\right]=0$$
+
+\begin{enumerate}[5.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$T_n(x)=0\qquad|x|\leq1$$
+$$\Leftrightarrow\cos(n\theta)=0\Leftrightarrow n.\Theta=\frac{\pi}{2}+k\pi
+\Leftrightarrow\theta_k=\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n}$$
+
+Les racines de $T_n(x)$ soit~:
+
+$$X_k=\cos(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})\qquad k=0,1\quad n=1$$
+
+\paragraph{Exercice 2} Polynôme de Legendre
+
+On considère les polynômes~:
+
+\[
+\left\{
+  \begin{array}{l l}
+    P_0(x) & =1\\
+    P_n(x) & =\frac{1}{2^n!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n)\quad\forall n\geq1\\
+  \end{array} \right.
+\]
+
+Les polynômes vérifient la relation $P_n(x)=\frac{2n-1}{n}\times P_{n-1}(x)
+-\frac{n-1}{n}P_n(x)\quad\forall n\geq2$.
+
+\begin{enumerate}
+  \item Montrer que $\int^1_{-1}x^k.P_n(x)dx=0\quad\forall k=0,1,...,n-1$.
+  \item En déduire la relation d'orthogonalité~: $\int^{1}_{-1}P_n(x).P_m(x)dx
+=0\quad\forall n\neq m$.
+  \item Montrer que le coefficient dominant de $P_n(x)$ est~: $a_n=
+\frac{(2.n)!}{2^n(n!)^2}$
+  \item Montrer que $||P_n||=\sqrt{\frac{2}{2n-1}}$\\
+    (Rappel~: $||P_n||=\sqrt{\int^1_{-1}P^2_n(x)dx}$)
+\end{enumerate}
+
+\begin{enumerate}[1.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$\frac{1}{2^nn!}\int^1_{-1}x^k\frac{d^n}{dx^n}
+\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx
+\left\{
+  \begin{array}{l l}
+    u^1 & =\frac{d^n}{dx^n}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)\\
+    v & =x^k\\
+  \end{array} \right.
+$$
+$$=\frac{1}{2^nn!}\left(\left[x^k\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(\left(x^2-1
+\right)^n\right)\right]^1_{-1}\right)-k\int^1_{-1}x^{k-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}
+}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)$$
+$$=\frac{-k}{2^nn!}\int^{1}_{-1}x^{k-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx$$
+
+\subparagraph{Deuxième intégration par partie}
+
+$$I=-\frac{k}{2^nn!}\int^1_{-1}x^{k-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx$$
+$$=-\frac{k}{2^nn!}\left(\left[X^{k-1}\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)\right]^1_{-1}
+\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx\right)$$
+$$I=\frac{k(k-1)}{2^nn!}\int^1_{-1}x^{k-2}\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx$$
+
+Après $p$ intégration par parties, on obtient~:
+
+$$I=\frac{(-1)^p.k(k-1)(k-2)...(k-p+1)}{2^nn!}\int^1_{-1}x^{k-p}\frac{d^{n-p}}{dx^{n-p}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx$$
+
+Si $p=k$ ($k$ intégrations par partie)~:
+
+$$I=\frac{(-1)^kk!}{2^nn!}\int^1_{-1}\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx$$
+$$=\frac{(-1)^kk!}{2^nn!}\left[\frac{d^{n-k-1}}{dx^{n-k-1}}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)\right]^1_{-1}=0$$
+
+\begin{enumerate}[2.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$\int^1_{-1}P_n(x).P_m(x)dx=\sum^n_{k=0}a_k\int^1_{-1}x^k.P_m(x)=^?0\quad\forall n\neq m$$
+
+Supposons que $n<m$ $P_n(x)=\sum^n_{k=0}a_k.x^k$
+
+$$\int^{1}_{-1}P_n(x).P_m(x)dx=\sum^n_{k=0}a_k\int^1_{-1}x^k.P(x)dx=0\quad\text{car }k<m\text{(première partie)}$$
+
+\begin{enumerate}[3.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$P_n(x)=\frac{(2n-1)}{n}x.P_{n-1}(x)-\frac{(n-1)}{n}P_{n-2}(x)\quad\forall n\geq 2$$
+$$=n.x.\deg(n)-n.P_{n-2}(x)$$
+
+$a_n$ est le coefficient dominant de $P_n(x)$.
+
+$$a_n=\frac{(2n-1)}{n}a_{n-1}\quad a_{n-1}\text{ est le coefficient dominant de }P_{n-1}$$
+$$\left\{
+  \begin{array}{l l l}
+    a_n & = & \frac{(2n-1)}{n}a_{n-1}\\
+    a_{n-1} & = & \frac{(2n-3)}{n-1}a_{n-2}\\
+    a_{n-2} & = & \frac{(2n-5)}{n-2}a_{n-3}\\
+    \vdots & & \\
+    a_2 & = & \frac{3}{2}a_{1}\\
+  \end{array} \right.
+$$
+
+$$P_1(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(x^2-1\right)=\frac{1}{2}\times 2x=x$$
+$$P_1(x)=x$$
+$$a_1=1$$
+
+$$a_n=\frac{(2n-1)(2n-3)\ldots3.1}{n!}=\frac{(2n)!}{n!.2.4.5\ldots2n}=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$$
+
+\begin{enumerate}[4.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$
+\left.
+  \begin{array}{c l}
+    ||P_n|| & = \sqrt{\int^{1}_{-1}P_n^2(x)dx}\\
+    P_n(x) & = a_n.x^n+Q_{n-1}(x)\\
+  \end{array} \right\}
+||P_n||^2=\int^1_{-1}P_n^2(x)dx$$
+$$=a_n\int^1_{-1}x^n.P_n(x)+\int^1_{-1}Q_{n-1}(x).P_n(x)dx$$
+$$=a_n\int^1_{-1}x^n\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}\left(x^2-1\right)dx$$
+$$=\frac{a_n}{2^nn!}\int^1_{-1}x^n\frac{d^n}{dx^n}\left(x^2-1\right)dx$$
+
+En utilisant la première question avec $k=1$~:
+
+$$\int^{1}_{-1}x^n\frac{d^n}{dx^n}\left(\left(x^2-1\right)^n\right)dx=(-1)^nn!
+\int^1_{-1}(x-1)^ndx$$
+$$||P_n||^2=\frac{a_n}{2nn!}(-1)^nn!\int^1_{-1}(x^2-1)^n dx
+=\frac{a_n(-1)^n}{2^n}\int^1_{-1}\left(x^2-1\right)^n dx$$
+
+Soit $I_n=\int^1_{-1}(x^2-1)^ndx$~:
+
+$$\left\{
+  \begin{array}{l l l l l}
+    v & = & (x^2-1) & \rightarrow & v'=n(x^2-1)^{n-1}2x\\
+    n' & = & 1 & \rightarrow & n = x\\
+  \end{array} \right.
+$$
+$$I_n=\left[x(x^2-1)^n\right]^1_{-1}-2n\int^1_{-1}(x^2-1)^{n-1}x^2dx$$
+$$=-2n\int^1_{-1}(x^2-1)^{n-1}x^2dx = -2n\int^1_{-1}(x^2-1)^{n-1}(x^2-1+1)dx$$
+$$=-2n\int^1_{-1}(x^2-1)^{n}dx-2n\int^1_{-1}(x^2-1)^{n-1}dx$$
+
+$$
+  \begin{array}{l l l}
+    (2n-1)I_n & = -2nI_{n-1} & \Rightarrow I_n=\frac{-2n}{2n+1}I_{n-1}\\
+    & & \Rightarrow I_n=\frac{(-2)^nn!.I_0}{(2n+1)(2n-1)\ldots3}=\frac{(-1)^n.2^{n+1}n!}{(2n+1)!}2^nn!\\
+  \end{array}
+$$
+$$||P_n||^2=\frac{(2n)!(-1)^n}{2^n(n!)^2 2^n}(-1)^n\frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)}=\frac{2}{2n+1}$$
+$$\Rightarrow||P_n||=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}$$
+
 \section{Méthode des moindres carrés}
 
 \section{Interpolation}