Cours d'aujourd'hui

itil/1.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\chapter{Introduction}
+
+Devoteam : Jean-Marc Chevereau
+
+En fait ITIL c'est une liste de recommandation pour gérer les services IT. Ce
+n'est pas une norme

mathsignal/cours.tex

@@ -0,0 +1,313 @@
+\chapter{Mathématique du signal}
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|}w
+  Domaine temporel & Domaine fréquentiel & Domaine temporel\\
+  & traitements divers & \\
+  $t$ & & \\
+  $(k.T)$ & &
+\end{tabular}
+
+\section{Signal continu}
+
+\subsection{Outils mathématiques}
+
+\subsubsection{Équations différentielles}
+
+Équation linéaires à coefficients constants.
+
+\begin{tabular}{c|c|c}
+  $u(t)$ & système & $y(t)$
+\end{tabular}
+
+\vspace{1.5em}
+
+$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=12t+20$$
+
+Résoudre l'équation différentielle $\rightarrow y(t)$
+
+\paragraph{Méthode classique en deux étapes}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Solution générale de l'ESSM (l'éuation sans second membre)~:
+    $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=0$$
+    Cherchons les solution de la forme $y(t)=e^{r.t}$.\\
+
+    \[
+    \begin{cases}
+      \ddot{y}(t) & = r^2.e^{r.t} \\
+      \dot{y}(t)  & = r.e^{rt}
+    \end{cases}
+    \]
+    $$\Rightarrow \text{équation différentielle}$$
+    $$(r^2+r-6).e^{r.t}=0$$
+    $$r^2+r-6=0$$
+    $$(r-2)(r+3)=0$$
+    $$\Rightarrow r_1=2 et r_2=-3$$
+
+    Solution générale de l'ESSM~:
+    $$y(t)=A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$
+    $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)=6y(t)=12t+20$$
+
+    $\Rightarrow$ résoudre l'équiation différentielle $\rightarrow y(t)$ ?
+
+  \item \textbf{Solution particulière de l'équation EASM (équation avec second
+      membre)}\\
+    On cherche les solutions particulière de la même forme que le deuxième
+    membre.
+    $$y(t)=a.t+b\qquad (a,b)?$$
+    $$\dot{y}(t)=a\qquad\ddot{y}(t)=0$$
+    $$a-6.a.t-6.b=12.t+20$$
+
+    \[
+    \begin{cases}
+      a-6.b & = 20 \\
+      -6.a & = 12
+    \end{cases}
+    \Rightarrow a=-2 \Rightarrow
+    b=\frac{-11}{3}
+    \]
+
+    $A$ et $B$ fixés par ($I$).
+
+  \item La solution générale de l'EASM s'obtient en additionnant la solution
+    générale de l'ESSM et la solution particulière de l'EASM $\rightarrow$
+    $$y(t)=A.e^{2.t}+B.e^{-3t}-2t-\frac{11}{3}$$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{Produit de convolution}
+
+Soient deux signaux $x(t)$ et $y(t)$~:
+
+$$2(t)\times y(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(\tau).y(t-\tau)d\tau$$
+
+On appel cette équation \emph{l'unité de convolution}.
+
+\paragraph{Produit classique~:} $1.x=x.1=x$
+
+$$x(t)\times \delta(t)=x(t)$$
+$$\delta(t)\times x(t)=x(t)$$
+
+$\delta(t)=$ «impulsion» de DIRAC
+
+SHÉMA ICI
+
+\subsubsection{Fonction complexe d'une variable complexe}
+
+$f(t)\mapsto F(p)$ avec $F$ un nombre complexe et $p$ un nombre complexe.
+
+\paragraph{Définition de la transformation complexe}
+
+$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$
+
+$$X(p)=\int^{\infty}_{0}x(t).e^{-p.t}dt$$
+
+$X(p)=$ nombre complexe
+$p=$ nombre complexe $=\sigma+j.\omega$ où $\omega$ est la pulsion.\\
+
+$\omega$ est lié à la fréquence $f$ par $\omega=2.\pi.f$
+
+$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$
+$x(t)$ le domaine temporel et $X(p)$ le domaine fréquentiel.
+
+\paragraph{Propriétés~:}
+
+\begin{enumerate}
+  \item \textbf{Convergence~:} existance dans $X(p)$.
+
+    $x(t)=$ signal réel (ou signal existant physiquement) $\rightarrow X(p)$
+    existe.
+  \item \textbf{Linéarité~:}
+    $$\mathcal{L}[a.f(t)+b.g(t)]=a.F(p)+b.G(p)\qquad\forall a,b=\text{constantes}$$
+
+  \item \textbf{Théorèmes du retard~:}
+    $$\mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau.p}.F(p)\qquad\tau\text{ le retard}$$
+
+    \paragraph{Remarque~:} ICI SCHEMA 2
+
+  \item \textbf{Convergence~:}
+
+    $$\mathcal{L}\left[x(t)\times y(t)=X(p).Y(p)\right]$$
+    $\mathcal{L}[*]=\cdot$ très facile de faire un produit de convolution dans l'espace
+    de Laplace.
+
+  \item \textbf{Dérivation/Intégration}
+
+    $$\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}=p.X(p)-x(t=0)\right]$$
+    Avec $x(t=0)$ la condition initiale.
+
+    \underline{En automatique~:} on suppose que toutes les conditions initales
+    sont nulles.
+
+    \textbf{Remarque~:} si une condition initiale n'est pas nulle, on considère
+    la nouvelle variable~: $x(t=0)\neq 0$
+
+    $$y(t)=x(t)-x(t=0)$$
+
+    $y(t=0)=0$
+    On peut toujours se ramener à des variables avec des conditions initiales
+    nulles.
+
+    $\Rightarrow_{CI nulles}$ La dérivation est une simple
+    \emph{multiplication} par $p$.
+    L'intégration est une simple \emph{division} par $p$.
+
+    $\rightarrow$ C'est très facile de dériver et d integrer dans l'espace de
+    Laplace.
+
+  \item \textbf{Théorème de la valeur initiale/Théorème de la valeur finale}
+    \[
+    \begin{cases}
+      \lim_{t\rightarrow 0} f(t)=\lim_{p\rightarrow +\infty}[p.F(p)]\\
+      \lim_{t\rightarrow +\infty} f(t)=\lim_{p\rightarrow 0}[p.F(p)] \text{<-
+        régime permannent en automtique}
+    \end{cases}
+    \]
+
+    \paragraph{Remarque~:} régime permanent~:
+    SCHEMA 3
+\end{enumerate}
+
+\begin{figure}
+  \begin{tabular}{c|c}
+    $t$ & $p$ \\
+    $\delta(t)$ & $1$ \\
+    échelon de Heaviside & $\frac{1}{p}$ \\
+    $k^{-a.t}.u(t)$ & $\frac{1}{p+a}$ avec $a$ réel ou complexe \\
+    $t.u(t)$ & $\frac{1}{p^2}$ \\
+  \end{tabular}
+  \caption{Tableau des transformation de Laplace usuelles}
+\end{figure}
+
+\paragraph{Remarque~:} la multiplication par $u(t)$ rend le signal CAUSAL (nul,
+$t\leq 0$).
+
+$$f(t)=sin(\omega.t).u(t)$$
+
+SCHEMA 4
+
+\subparagraph{Exercice~:} La définition de L sous forme d'intégrale est
+rarement utilisée. On se sert des propriétés et des transofrmation de Laplce
+usuelles.
+
+\subparagraph{Formule d'Euler~:}
+$sin(\theta)=\frac{e^{j.\theta-j.\theta}}{2j}$, $j^2=-1$.\\
+
+
+$$\mathcal{L}[(sin(\omega.t)).u(t)]=\mathcal{L}[\frac{e^{j.\omega.t-j.\omega.t}}{2j}.u(t)]$$
+$$=\frac{1}{2j}[\mathcal{L}[e^{j.\omega.t}.u(t)]-\mathcal{L}[e^{-j.\omega.t}.u(t)]]\qquad
+a=-j.\omega$$
+$$=\frac{1}{2j}[\frac{1}{p-j\omega}-\frac{1}{p+j\omega}]\qquad formule 3 du
+tableau$$
+$$=\frac{1}{2j}[\frac{p+j\omega-p+j\omega}{p^2+\omega^2}]$$
+$$=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$$
+
+\paragraph{Transformation de Laplace inverse}
+
+$$X(p)=\frac{2p^2+12p+6}{p(p+2)(p+3)}\longmapsto^\mathcal{L} ?$$
+
+On décompose $X(p)$ en élément simples~:
+$$X(p)=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+2}+\frac{C}{p+3}$$
+
+\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis $p=0$} $1=A$
+
+\subparagraph{Multiplication par $p+2$ des deux membres, puis $p=-2$}
+$\frac{8-24+6}{-2(1)}=B=\frac{-10}{-2}=5$
+
+\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$}
+$\frac{18-36+6}{(-3)(-1)}=C=\frac{-12}{3}=-4$
+
+$$X(p)=\frac{1}{p}+\frac{5}{p+2}-\frac{4}{p+3}$$
+$$x(t)=(1+5.e^{-2t}-4.e^{-3.t}).u(t)\qquad ligne 2 et 3 du tableau$$
+
+
+\paragraph{Résolution d'équation différentielle linéaire et à coefficients
+  constants}
+
+$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)-12t=12t+20$$
+
+\subparagraph{Hypothèse~:} les conditions initiales sont nulles.
+
+$\Rightarrow$ pas de problème avec les dérivées.
+
+$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=(12t+20).u(t)\qquad\text{on suppose que le
+  deuxième membre n'existe que pour} t\geq0$$
+$$(p^2+p-6).Y(p)=\mathcal{L}\left[(12t+20).u(t)\right]=12.\mathcal{L}\left(t.u(t)\right)+20.\mathcal{L}\left(u(t)\right)$$
+$$(p^2+p-6).Y(p)=\frac{12}{p^2}+\frac{20}{p}\Rightarrow\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}$$
+
+$$Y(p)=\frac{12+20p}{p^2(p^2+p-6)}\mapsto^{\mathcal{L}^{-1}}?$$
+
+\subparagraph{On décompose $Y(p)$ en éléments simples~:}
+$Y(p)=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{p+3}+\frac{D}{p-2}=
+\frac{12+20p}{p^2(p+3)(p-2)}$
+
+\subparagraph{Multiplication par $p^2$ des deux membres, puis $p=0$} $A=-2$
+\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$}
+$C=\frac{-48}{-45}=\frac{16}{15}$
+\subparagraph{Multiplication par $p-2$ des deux membres, puis $p=2$}
+$D=\frac{52}{20}=\frac{13}{5}$
+\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis
+$p\rightarrow+\infty$} $B+C+D=0$\\
+$\Rightarrow B=\frac{-16}{15}-\frac{13}{5}=\frac{-55}{15}=\frac{-11}{3}$
+
+$$Y(p)=\frac{-2}{p^2}-\frac{11}{3}\times\frac{1}{p}+\frac{16}{15}\times\frac{1}{p+3}+\frac{13}{5}\times\frac{1}{p-2}$$
+$$y(t)=-2t-\frac{11}{3}+A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$
+
+\[
+\begin{cases}
+  y(0)=0\rightarrow -\frac{11}{3}+A+B=0\\
+  \dot{y}(0)=0\qquad\dot{y}(t)=-2+2A.e^{2t}-3B.e^{-3t}
+\end{cases}
+\]
+
+\subparagraph{$\dot{y}(0)=0$} $-2+2A-3B=0\Rightarrow A=\frac{13}{5}$,
+$B=\frac{16}{15}$
+
+$$\frac{26}{5}-\frac{48}{15}=\frac{26}{5}-\frac{16}{5}=\frac{10}{5}=2$$
+
+\paragraph{Application en électronique}
+
+SCHEMA 5
+
+\begin{enumerate}
+  \item Calculer $\mathcal{L}\left[e(t)\right]=E(p)$.\\
+    On s'intéresse à une seule période (entre $t=0$ et $t=20$). On calcule
+    $\mathcal{L}\left[h(t)\right]$, soit $H(p)$ (on décompose $h(t)$ sous la
+    forme de signaux élémentaire + propriétés de $\mathcal{L}$).\\
+    On en déduit $\mathcal{L}\left[e(t)\right]$, soit $E(p)$.
+    \textbf{Ne pas utiliser la définition de $\mathcal{L}$.}
+\end{enumerate}
+
+SCHEMA 6
+
+$$H(p)=\frac{1}{10.p^2}\left(1-2.e^{-10.p+e^{-20.p}}\right)=\frac{(1-e^{-10.p})^2}{10.p^2}$$
+
+$$e(t)=h(t)+h(t-20)+h(t-40)+...$$
+$$E(p)=H(p)+H(p).e^{-20.p}+H(p).e^{-40p}+...$$
+$$E(p)=H(p)\left[1+e^{-20p}+(e^{-20p})^2+(e^{-20p})^3+...\right]$$
+$$E(p)=\frac{(1-e^{-10p})^2}{10p^2}\times\frac{1}{1-e^{-20p}}$$
+$$1-e^{-20p}=(1-e^{-10p})(1+e^{-10p})$$
+
+$$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$
+
+\begin{figure}
+  SCHEMA 7
+  \caption{Pont diviseur de tension}
+\end{figure}
+
+\begin{enumerate}
+  \item 2. Exprimer la fonction de transdert du circuit électrique~:
+    $$\frac{V_S(p)}{E(p)}=\frac{R}{R_g+R+\frac{1}{C_p}}=\frac{R.C.P}{1+(R+R_g).C_p}$$
+    $$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$
+\end{enumerate}
+
+SCHEMA 8
+
+\begin{enumerate}
+  \item On calcul $X(p)=\mathcal{L}\left[x(t)\right]$
+  \item On calcul $H(p)$
+  \item On en déduit~: $Y(p)=X(p)\times H(p)$
+\end{enumerate}
+
+$$V_s(p)=E(p)/times H(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10^p^2.(1+e^{-10p})}\times\frac{RC.p}{1+(R+R_g).C_p}$$
+
+\section{Signaux discrets (ou échantillionnés)}

trse/1.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\chapter{Les télécoms avec la révolution numérique}
+
+\section{Historique}
+
+\paragraph{1G} moins d'un million d'abonnés
+\paragraph{2G} GSM, jusqu'en 2022
+\paragraph{3G} < 40\% aujourd'hui\\
+Orange a commencé à gagner de l'argent à partir de 2000, SFR en 2001 et
+Bouygues en 2007.
+
+\paragraph{Aujourd'hui} 75\% de datas et 25\% de voie => on appel de moins en
+moins et on utilise de plus en plus de datas qui est moins rentable.
+
+Différence de service entre les constructeurs et les éditeurs (HTC vs
+Google/Apple).
+Les constructeurs lancent des produits tout buggé et balancent des FOTA après,
+ou pas.
+Google et Apple eux ils recherchent les nouveautés. Lorsqu'il y a des bugs, ils
+propagent les corrections par un canal différent.
+
+\section{Avant}
+
+Avec les nouvelles technologies, on a gagné en productivité.
+Personne n'est capable d'avoir une vision du futur.
+