Cours de maths du jour

maths/approximations.tex

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+\chapter{Approximations}
+
+\section{Introduction}
+
+Le but de ce chapitre est de donner les premières notions de la théorie de
+l'approximation permettant d'aborder la résolution de problèmes tels que :
+\begin{itemize}
+  \item soit $f(x)$ continue sur $[a;b]$, déterminer dans l'espace des polynôme
+    de degré $n$ celui rend~: $|f(x)-P_n(x)|$ le plus petit possible~;
+  \item déterminer les coefficients $a_k$ qui minimisent la valeur $\int^b_a
+    (f(x).\sum^{n^2}_{k=0}a_k.\varphi_k)^2.\omega(x)dx$ où $\omega(x)$ est le
+    poid.
+  \item Soit $f$ continue et $(n+1)$ points $X_0, X_1, ..., X_n$~:\\
+    $\exists? P_n(x)/P_n(X_i)=f(X_i)\quad\forall i=0..n$\\
+    $P_n(x)$ est le polynôme d'interpolation de $f(x)$.
+\end{itemize}
+
+\section{Approximation dans un espace métrique} % 1.1 pour le prof !!!
+
+$(E,d)$ est un espace métrique~: il existe une distance $d$~:
+$$d:E_x E\longmapsto\mathbb{R}_{+}$$
+$$(f,\Phi)\longmapsto d(f,\Phi)$$
+
+\begin{enumerate}[(i)]
+  \item $d(f,\Phi)=0\Rightarrow f=\Phi$
+  \item $d(f,\Phi)=d(\Phi,f)$
+  \item $d(f,\Phi)\leq d(f,\psi)+d(\psi,\Phi)\quad\forall f,\Phi,\psi\in E$
+\end{enumerate}
+
+\paragraph{Problème} Soit $(E,d)$ un espace métrique~: $F\subset E$ (sous
+espace-vectoriel de $E$).
+
+Déterminer $\Phi^{*}\in F/d(f,\Phi^{*})=Min d(f,\Phi)\qquad\Phi\in F$. S'il
+existe, cet élément $\Phi^{*}$ sera appelé meilleur approximation (ou  sens de
+la distance $d$) de $f\in E$.
+
+\paragraph{Définition} $E$ est un espace vectoriel normé s'il existe une norme
+$||f(f)||$, $\forall f\in E$.\\
+$d(f,\Phi)=||f-\Phi||$ distance sur $E$.
+
+On suppose que $dim(E)<+\infty$
+
+$$||f-\Phi^*||=Min(||f-\Phi||)\qquad\Phi\in F$$
+
+\section{Approximation uniforme}
+
+Soit $E=\mathcal{C}([a,b]\in\mathbb{R})={f\text{~continue~}
+  [a,b]\rightarrow\mathbb{R}}$.\\
+$E$ est normée $||f||=Max|f(x)|\quad a\leq x\leq b$
+
+$$d(f,\Phi)=||f-\Phi||=Max|f(x)-\Phi(x)|$$
+
+Soit $\mathbb{C}_n$ un sous espace vectoriel de $E$, de dimension $n$.\\
+La meilleur approximation uniforme $\Phi^{*}\in\mathcal{E}_n$ de $f\in E$ est
+donc la fonction définie par~:
+
+$$f-\Phi^{*}=Min(Max|f(x)-\Phi(x)|)\qquad\Phi\in\mathcal{E}_n$$
+
+Soit ${\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n}$ une vase de $\mathcal{E}_n$~:
+
+$$\Phi^{*}=\sum^n_{i=1}a_i^{*}.\varphi_i$$
+
+$$||f-\Phi^*||=Min(Max|f(x)-\Phi(x)|)\qquad\Phi\in\mathcal{E}, a\leq x\leq b$$
+
+\subsection{Polynôme de Chibyshev}
+
+Les polynômes sont définis pour~:
+
+%$${^{T_{n+1}(x)=2x.T(x)-T_{n-1}(x)}_{T(x)=1, T_1(x)=x}$$
+
+$$T_2=2X.T_1(x)-T(x)=2x^2-1$$
+
+$$T_3=2x.T_2(x)-T_1(x)=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x$$
+
+$$T_4(x)=8^4-8x^2+1$$
+
+\paragraph{Propriétés}
+
+\begin{enumerate}[(i)]
+  \item $T_n(x)=cos(n.\theta)\qquad -1\leq x\leq 1$ où
+    $x=cos(\theta)\Leftrightarrow\theta=cos(x)\qquad 0\leq\theta\leq\pi$
+  \item Le coefficient dominant de $T_n(x)$ est $a_n=2^{n-1}$,
+    $T_n(x)=2^{n-1}.X^n...$
+  \item ${T_0,T_1,T_2,...,T_n}$ est un ensemble de polynômes orthogonaux sur
+    $[-1,1]$ relativement à la fonction poids
+    $\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-X^2}}$
+    $$<T_n,T_m>=\int^1_{-1}\frac{T_n(x).T_m(x)}{\sqrt{1-X^2}}dx=0\quad\forall
+    n\neq m\qquad p\text{p. scalaire}$$
+  \item $T_n(x)=+1;-1;+1;-1;...$\\
+    Pour $X=1, cos(\frac{\pi}{n}), cos(\frac{2\pi}{n}), cos(\frac{k\pi}{n})$
+\end{enumerate}
+
+\paragraph{Théorème} Dans l'ensemble des polynômes de degré $n$ ayant le
+coefficient de tête égal à 1, c'est $T_n^*=\frac{T_n}{2^{n-1}}$ qui réalise la
+meilleure approximation uniforme de la fonction nulle sur $[-1;1]$.
+$$||T_n^*||=max|T_n^*(x)|=\frac{1}{2^{n-1}}\qquad -1\leq x\leq 1$$
+$$\mathcal{P}_n={\text{polynôme~:~} X^n+a_{n-1}.X^{n-1}+...+a_0}$$
+
+\paragraph{Démonstration}
+
+On veut montrer que $||T_n^*||=Min||R_n||\quad R_n\in P_n$.
+
+Supposons le contraire~: $\exists R_n\in P_n$ tel que
+$||R_n||<||T_n^*||=\frac{1}{2^{n-1}}$, $T_n^*-R_n=P_{n-1}$ polynôme de degré
+$\leq n-1$.
+
+$$X_0=1\qquad P_{n-1}(1)=T_n^*(1)-R_n(1)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(1)>0$$
+$$X_1=cos(\frac{\pi}{n})\quad
+P_{n-1}(X_1)=T_n^*(X_1)-R_n(X_1)=\frac{-1}{2^{n-1}}-R_n(X_1)<0$$
+$$X_2=cos(\frac{2\pi}{n})\quad
+P_{n-1}(X_2)=T_n^*(X_2)-R_n(X_2)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(X_2)>0$$
+$$\vdots$$
+$$X_n=cos(\pi)=-1\quad
+P_{n-1}(X_n)=T_n^*(X_n)-R_n(X_n)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(X_n)^<_>0$$
+
+Les $(n+1)$ points $X_0=1,...,X_n$ pour lesquels $T_n^*$ prend les valeurs
+$\frac{1}{2^{n-1}};\frac{1}{2^{n-1}};...$
+
+Donc $P_{n-1}(x)$ possède au moins $n$ racines dans $[-1,1]$. Ceci n'est pas
+possible car le degré $P_{n-1}\leq n-1$.
+
+Donc $||T_n^*||=Min||R_n||\quad R_n\in P_n$.\\
+
+\paragraph{Théorème} Si $P_n\in\mathbb{P}_n={\text{polynôme de degré}\leq n}$
+est tel que la fonction erreur $\epsilon_n=f-P_n$ atteint les \emph{valeurs
+  extrêmes alternées} $M;-M;M;...$ à $M=||\epsilon_n||$ en \emph{au moins
+  $n+2$} points $X_1,X_2,...,X_{n+2}\in[a,b]$ alors $P_n$ est le polynôme qui
+réalise la meilleure approximation de $f$ sur $[a,b] (P_n=P_n^*)$
+
+\paragraph{Démonstration} (Par l'absurde)
+
+Supposons $\exists q_n\in\mathbb{P}_n/||f-q_n||<||f-P_n||=||\epsilon_n||=M$,
+$Max|f(x)-q_n(x)|<M\Leftrightarrow-M<f(x)-q_n(x)<M\quad a\leq x\leq
+b\quad\forall x\in[a,b]$
+
+$$r_n=q_n-p_n\text{degré de~}r_n\leq n$$
+$$r_n=f-P_n+q_n-f=\epsilon_n+q_n-f$$
+
+$$r_n(x_1)=\epsilon_n(x_1)+q_n(x_1)-f(x_1)=M+q_n(x_1)-f(x_1)>0$$
+$$r_n(x_2)=\epsilon_n(x_2)+q_n(x_2)-f(x_2)=M+q_n(x_2)-f(x_2)<0$$
+$$\vdots$$
+$$r_n(x_{n+2})=\epsilon_n(x_{n+2})+q_n(x_{n+2})-f(x_{n+2})=M+q_n(x_{n+2})-f(x_{n+2})^>_<0$$
+
+$r_n(x)$ change au moins $(n-1)$ fois de signe dans $[a,b]$ en raison de
+l'aternance de $\epsilon_n\Rightarrow r_n$ possède au moins $(n+1)$ racines ce
+qui est impossible.
+
+\paragraph{Exercice 1} Polynôme de Chebyshev\\
+
+$$\begin{cases}
+    T_{n+1}(x) & =\quad2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)\\
+    T_0(x) & =\quad 1, T_1(x)=x\\
+  \end{cases}$$
+
+\begin{enumerate}
+  \item Montrer que $T_n(x)=cos(\theta)\quad|x|\leq 1\quad\theta=arccos(x)$
+  \item Montere que le coefficient dominant de $T_n$ est $a_n=2^{n-1}$
+  \item Montrer que $T_n(x)=\frac{1}{2}((x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2}-1)^n)
+    \forall x\in\mathbb{R}$
+  \item Montrer que
+    $\int^1_{-1}\frac{T_n(x).T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=0\quad\forall n\neq m$
+\end{enumerate}
+
+\begin{enumerate}[1.]
+  \item Par récurence sur $n$~:
+\end{enumerate}
+$$\begin{cases}
+    n=0 & T_0(x)=cos(0)=1\\
+    n=1 & T_1(x)=x=cos(\theta) \\
+  \end{cases}$$
+
+\paragraph{Hypothèse} Supposons que $T_k(x)=cos(k\theta)$
+$$T_{n+1}(x)=2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)=2.cos(\theta).cos(n\theta)-cos(n-1)\theta$$
+$$=2.cos(\theta).cos(n\theta)-(cos(n\theta).cos(\theta)+sin(\theta).
+sin(n\theta))$$
+$$=cos(\theta).cos(n\theta)-sin(\theta).sin(n\theta)=
+cos(n+1)\theta$$
+
+\vspace{1em}
+
+\begin{enumerate}[2.]
+  \item
+\end{enumerate}
+$$\begin{cases}
+    T_{n+1}(x) & =\quad 2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)\\
+    T_0(x) & =\quad 1, T_1(x)=x\\
+  \end{cases}$$
+
+Supposons que le coefficient dominant de $T_n$ est $a_n=2^{n-1}$
+
+$$T_{n+1}(x)=2x.T(x)-T_{n-1}(x) = 2x.(2^{n-1}.X^n+R_{n-1}(x))-T_{n-1}(x)$$
+$$\Rightarrow a_{n+1}=2.2^{n-1}=2^n$$
+
+\vspace{1em}
+
+\begin{enumerate}[3.]
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$$T_{n+1}=2x.T_n-T_{n-1}$$
+$$T_{n+1}-2x.T_n+T_{n-1}=0 \text{(équation récurente)(*)}$$
+
+L'équation caractéristique~: $r^2-2xr+1=0$
+
+2 solutions particulières de l'équation (*)~: $r_1^n$ et $r_2^n$.
+
+En effet $r_1^{n+1}-2x.r_1^n+r_1^{n-1}=r_1^{n-1}(r_1^{n-1}-2x.r_1+1)=0$, de
+même pour $r_2^n$.
+
+La solution générale de $(*)$ est $T_n=\alpha.r_1^n+\beta.r_2^n$ où $\alpha$ et
+$\beta$ sont déterminées par les conditions initiales.
+
+\section{Méthode des moindres carrés}
+
+\section{Interpolation}
+
+\subsection{Algo de Lagrange}
+
+\subsection{Algo de Newton}
+
+\section{Dérivation numérique}
+
+\section{Intégration numérique}

maths/main.tex

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+\title{Mathématiques}
+\author{Le prof}
+\date{ING1}
+
+\maketitle
+
+\input{approximations}