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\documentclass[10pt]{report}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage[frenchb]{babel}
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\usepackage{ucs}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{eurosym}
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\usepackage{enumerate}
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\begin{document}
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\chapter{Le modèle probabiliste et variables aléatoires}
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\section{Exos}
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\subsection{Exercice 1}
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Un usager du métro effectue régulièrement 100 voyages par mois en 1ère
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classe. On admet qu'à chaque voyage, cet usager a 1 chance sur 10 d'être
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contrôlé. On suppose que cet usager fraude systématiquement en voyageant en
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1ère classe avec un billet de seconde classe.
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La différence entre les prix des billets de 1ère et 2e est de 1 \euro mais à
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chaque contrôle, l'usager doit payer une amande $A$.
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Soit $X$ le nombre de fois où l'usager est contrôlé pendant un mois.\\
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\begin{enumerate}
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\item La loi de X~?
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\item Soit $B$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice fait pour l'usage
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pendant un mois en fraudant.\\
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Calculer $E(B)$ et en déduire pour quelle condition portant sur $A$
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l'usager est en moyenne gagnant.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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$X$ suit $B(n,p)$ $\lbrace^{n=100}_{p=\frac{1}{10}}$
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$$\left[^{P[X=k]=C^k_{100}(0,1)^k(0,9)^{100-k}}_{\forall k=0, 1, ..., n}\right.$$
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\paragraph{Correction 2.}
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$B$ variable aléatoire bénéfice.
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$$B=n-X\cdot A$$
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$$E(B)=E(n)-A\cdot E(X)=n-A\cdot n\cdot p=100-10\cdot A$$
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$E$ est linéaire.
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L'usager est gagnant si $E(B)>0\Rightarrow 100-10\cdot A>0\Rightarrow A <
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10\mathrm{~euros}$
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\subsection{Exercice 2}
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Une fabrique produit des tubes électroniques doit en moyenne $1\%$ soit
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défectueux.
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On suppose que les évènements sont indépendants.
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Un client achète $300$ tubes électroniques. La fabrique garanti ses tubes à
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$97\%$.
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Soit $X$ le nombre de tubes défectueux, parmi les tubes achetés.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi de probabilité de $X$~?
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\item Pour quelle loi peut-on l'approcher~?
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\item Déterminer la probabilité que le client, après avoir testé ses tubes,
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revienne à la fabrique pour faire marcher la garantie.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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$X$ suit $B(n,p)$ $n=300$ et $p=0,01$
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\paragraph{Correction 2.}
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\subparagraph{Théorème} Loi de poisson
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$$B(n,p)\longrightarrow^{Loi}_{n\mapsto+\infty}B(\lambda=n\cdot p)$$
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En pratique~:
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$$\left\lbrace^{n>50}_p<0,1\Longrightarrow B(n,p)\simeq P(\lambda=3)\right.$$
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$$P[X=k]=C^{k}_{300}(0,01)^k(0,99)^{300-k}\simeq
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e^{-3}\frac{3^k}{k!}\mathrm{~(Loi~de~poisson)}$$
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\paragraph{Correction 3.}
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Le nombre de tubes qui fonctionnent~: $300\times 97\%=291$
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$$P[X>300-291=9]=P[X>9]=1-P[X\leq 9]\simeq
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1-\sum^{9}_{k=0}e^{-3}\frac{3^k}{k!}\simeq
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1-e^{-3}\sum^{9}_{k=0}\frac{3^k}{k!}$$
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=> 1 chance sur 1000 pour qu'il revienne
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\subsection{Exercice 3}
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Lors de tests d'accès à un ordinateur central par réseau télématique, on a
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constaté que $95\%$ des essais permettaient une connexion correcte.
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Une entreprise doit se connecter 4 fois par jour pour la mise à jour de ses
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fichiers.
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Soit $X$ le nombre d'essais nécessaires pour se connecter 4 fois.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $P[X=4]$
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\item Calculer la probabilité de dépasser 6 essais.
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\item Calculer $E(X)$, $\sigma(X)=\sqrt{V\left(X\right)}$
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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Soit $X$ le nombre d'essaus nécessaires pour observer l'événement $A$ $n$ fois.
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$$P[X=x]=p\cdot C^{n-1}_{x-1}p^{n-1}\cdot q^{x-n}=C^{n-1}_{x-1}p^n\cdot
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p^{x-n}$$
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$$q=1-p=5\%$$
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$X$ suit la loi de Pascal d'ordre $n=4$
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$$p=0,95\qquad P[X=4]=(0,95)^4=0,815$$
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\paragraph{Correction 2.}
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$$P[X>6]=1-P[X\leq 6]=1-\sum_{k=4}^6 P[X=k]$$
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$$=1-(0,95)^4-C^3_4 (0,95)^4(0,05)-C^3_5 (0,95)^4(0,05)^2\simeq 0,00223$$
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\paragraph{Correction 3.}
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$$E(X)=\frac{n}{p}=\frac{4}{0,95}=4,21$$
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$$V(X)=\frac{n\cdot q}{p^2}\Rightarrow\sigma=\frac{\sqrt{n/cdot
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q}}{p}=\frac{\sqrt{4\times 0,05}}{0,95}=0,47$$
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\subsection{Exercice 4}
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Un médecin envisage d'installer un cavinet de traumatologie dans une station de
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sports d'hiver pendant la saison de ski.
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Il estime qu'un tel cabinet devient rentable à partir de 10 patients par
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jour. En moyenne, dans cette station, 5~000 skieurs skient par jour et d'après
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les statistiques chaque skieur a une probabilité de 0,001 d'être victime d'une
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mauvaise chute. Soit $X$ le nombre d'accidents en une journée.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi de $X$.
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\item Calculer la probabilité que le cabinet soit rentable.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Correction 1.}
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$X$ suit $B(n,p)$ avec $n=5000$ et $p=0,001$.
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$$\left\lbrace^{n~grand}_{p<0,1}\right.\Rightarrow B(n,p)\simeq P(\lambda=5)$$
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\paragraph{Correction 2.}
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$$P[X\geq 10]=1-P[X\leq 9]\simeq 1-e^{-5}\sum_{k=0}^{9}\frac{5^k}{k!}\simeq 0,968$$
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\section{Conseils pour révision}
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Pas de Choleski
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Relaxation,
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Faire 2 exos sur les 3 pour avoir la moyenne
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\end{document}
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\documentclass[10pt]{report}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage[frenchb]{babel}
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\usepackage{ucs}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{enumerate}
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\begin{document}
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\chapter{Le modèle probabiliste et variables aléatoires}
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\section{Espaces utilisables}
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\subsection{Expériences aléatoires et évènements}
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Une expérience est qualifiée d'aléatoire, si on ne peut prévoir par
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avance son résultat, et, si répété dans des conditions identiques,
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elle peut donner lieu à des résultats différents.
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On représente le résultat de cette expérience comme un élément
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$\omega$ de $\Omega$ (l'univers), ensemble des résultats possibles.
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Ainsi à l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dès, on peut
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associer l'ensemble $\Omega$~:
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$$\Omega=\lbrace(1,1);(1,2);(1,3);...\rbrace$$
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$$Card(\Omega)=36$$
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$\Omega$ n'est pas déduit de manière unique de l'expérience mais
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dépend de l'usage qui doit être fait des résultats.
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Si l'on convient qu'on ne retiendra de cette expérience que la somme
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des points affichés.
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Donc $$\Omega'={2,...,12}$$.\\
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Un événement est une proposition logique relative au résultat de
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l'expérience.
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\paragraph{Exemple~:} A \og La somme des points supérieurs à 10\fg.
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\subsection{Algèbre des évènements}
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Soit $C$, l'ensemble des évènements à tout élément $A\in C$,
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$\bar{A}$~:contraire de $A$. Le complémentaire de $A$~:
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$$\bar{A}=C^{A}_{\Omega}$$
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La classe $C$ est définie par trois axiomes~:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\forall A\in C$, $\bar{A}\in C$
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\item Pour tout ensemble fini ou dénombrable\footnote{$I$
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dénombrable~: il existe une application $\varphi$ bijective et
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$\varphi:I\rightarrow\mathbb{N}$} $A_1$, \ldots, $A_i$, \ldots,
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$A_n$ $\in C\cup A_i\in C$.
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\item $\Omega\in C$
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\end{enumerate}
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\paragraph{Remarque~:} Les trois axiomes impliquent que~:
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$\emptyset\in C$ et $\Omega\cup A_i\in C$. $\bar{\Omega}=\emptyset\in
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C$.
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$A_i\in C$, $\bar{A_i}\in C\cup\bar{A_i}\in C$.
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%$$\bar{\cup_i\bar{A_i}}\in C=\cap_i\bar{\bar{A_i}}\inC=\cap_i A_i\in C$$
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Les propriétés définissant ce que l'on appelle un ealgèbre de Boole ou
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tribu.
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\paragraph{Définition~:} On appelle espace probabilisable le couple
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$(\Omega, C)$, où $\Omega$ est l'univers et $C$ est la tribu.
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\section{Espace probabilisé}
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\subsection{L'axiomatique de Kolmogorov}
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$$A\longmapsto P(A)\in[0,1]$$
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$$A\in C$$
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\paragraph{Définition~:} On appelle probabilité sur $(\Omega, C)$
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(loi de probabilité) une application~:
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$P: C\longmapsto[0,1]$ vérifiable\\
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$A\longmapsto P(A)$
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $P(\Omega)=1$
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\item Pour tout ensemble dénombrable d'événements incompatibles
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$A_i$, on a~:
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\end{enumerate}
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$$P(\cup_i A_i)=\Sigma_i P(A)$$
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\paragraph{Propriétés~:}
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $P(\emptyset)=0$,
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\item $P(\bar{A})=1-P(A)$,
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\item $P(A)\leq P(B)$ si $A\in B$,
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\item $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$,
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\item $P(\cup_i A_i)\leq \Sigma_i P(A_i)$
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\end{enumerate}
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\subsection{Lois conditionnelles}
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\paragraph{Définition~:} Soit $B\in C/P(B)\neq0$.
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On appelle probabilité conditionelle de $A$ sachant $B$~:
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$$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
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\paragraph{Définition~:} $A$ est indépandant de $B$ si~:
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$P(A/B)=P(A)\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $$P\left(B/A\right)=\frac{P(A/B)\cdot P(B)}{P(A)}$$
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\item $$P\left(B_i/A\right)=\frac{P(A/B_i)\cdot
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P(A_i)}{\Sigma_{i}P(A/B_i)\cdot P(B_i)}$$
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\end{enumerate}
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\paragraph{Exemple~:} Dans une usine, trois machines $M_1$, $M_2$,
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$M_3$ fabriquent des boulons de même type.
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\begin{itemize}
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\item $M_1$ sort en moyenne $0,3\%$ boulons défectueux.
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\item $M_2$ sort en moyenne $0,8\%$ boulons défectueux.
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||||
\item $M_3$ sort en moyenne $1\%$ boulons défectueux.
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\end{itemize}
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On mélange $1000$ boulons dans une caisse~: $500$ de $M_1$, $350$ de
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$M_2$, $150$ de $M_3$.
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On tire un boulon au hasard dans la caisse, il est défectueux. Quelle
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est la probabilité qu'il ait été fabriqué par $M_1$ ou $M_2$ ou
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$M_3$~?\\
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$D$ \og boulon défectueux\fg. On cherche $P(M_1/D)$.\\
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||||
$P(M_1/D)=0,3\%$\\
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||||
$P(M_2/D)=0,8\%$\\
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||||
$P(M_3/D)=1\%$
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$$P(M_1/D)=\frac{P(M_1/D)\cdot P(M_1)}{P(D)}$$
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$$D=(D\cap M_1)\cup(D\cap M_2)\cup(D\cup M_3)$$
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$$P(D)=P(D\cap M_1)+P(D\cap M_2)+P(D\cup M_3)$$
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||||
$$P(D)=\Sigma_{i=1}P(D/M)\cdot P(M_i)$$
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\subsection{Variables aléatoires réelles}
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Le concept de variables aléatoires formalise la notion de rgandeur
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variant selon le résultat d'une expérience aléatoire.
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Considérons le lancé de deux dés parfaitement équilibrés.
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$$\Omega={(1,1);...;(6,6)}$$
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$\Omega$ est muni de la probabilité~:
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$P(\omega)=\frac{1}{36}\forall\omega\in\Omega$
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Soit l'application $S$~: $\Omega\longmapsto E$ $(i,j)\longmapsto i+j$
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$$E={2,...,12}$$
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||||
Pour obtenir la probabilité d'une valeur quelconque de $S$, il suffit
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de dénombrer les $\omega$ qui réalisent cette valeur.
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Ainsi, $P(S=5)=P({(1,4);(4,1);(2,3);(3,2)})=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$
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||||
Généralement~:
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$$P(S=s)=P({S^{-1}(s)})$$
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||||
Si $X$ est une application de $(\Omega, C, P)$ dans $E$, il faut que
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$E$ soit probabilisable c'est-à-dire muni d'une tribu $F$.
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||||
\paragraph{Définition~:} Une variable est une application mesurable de
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||||
$(\Omega,C,P)$ de $(E,F)$ l'image réciproque d'un élément de $F$ est
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||||
un élément de $C$.
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||||
Lorsque $E=R$, on utilise commme tribu la $\alpha$-algèbre engendrés
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par les intervalles de $\mathbb{R}$. Cette tribu s'appelle la tribu
|
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Borélienne notée $B$.
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$$P_X(B)=P({\omega/X(\omega)\in B})=P({X^{-1}(B)})$$
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||||
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||||
\subsubsection{Fonction de répartition}
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||||
\paragraph{Définition~:} La fonction de répartition d'une variable
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aléatoire $X$ est l'application.
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||||
$F$~: $\mathbb{R}\longmapsto [0,1]$
|
||||
$x\longmapsto F(x)=P[X<x]$
|
||||
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||||
$$\lbrace^{F est croissante}_{F(-\infty)=0 et F(+\infty)=1x}$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Définition~:} une loi de probabilité $P_X$ admet une
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||||
densité $f$ si pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$,
|
||||
$P_X(I)=\int_{T}f(x)dx$
|
||||
|
||||
$$P(a<X<b)=f(x)dx=F(b)-F(a)$$
|
||||
|
||||
\paragraph{Définition~:} La fonction de répartition d'une variable
|
||||
aléatoire $X$ est l'application $$F:\mathbb{R}\longmapsto[0,1]$$
|
||||
$$x\longmapsto F(x)=P(X,x)$$
|
||||
|
||||
\subsection{Moment d'une variable aléatoire}
|
||||
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\subsubsection{L'espérance mathématique}
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||||
Pour une variable discrète, on définit l'espérance~:
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||||
$$E(X)=\sum_i x_i P[X=x_i]$$
|
||||
|
||||
Dans le cas continue~: $E(X)=\int_\mathbb{R} x\times f(x)dx$ où $f(x)$
|
||||
est la densité de $X$.
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||||
|
||||
\paragraph{Proposition~:}
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\begin{enumerate}[(i)]
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||||
\item $E(a)=a \forall a\in\mathbb{R}$
|
||||
\item $E(\alpha X)=\alpha E(x) \forall\alpha\in\mathbb{R}$
|
||||
\item $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\paragraph{Définition~:} Soit $X$ une variable aléatoire et $\varphi$
|
||||
une fonction quelconque.
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||||
Cas discret~: $E[\varphi(X)]=\sum_i \varphi(x_i) P[X=x_i]$
|
||||
|
||||
Cas continue~: $E[\varphi(X)]=\int_\mathbb{R} \varphi(x) f(x)dx$
|
||||
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||||
\subsubsection{La variance}
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On appelle variance de $X$ notée $V(X)$ ou $\sigma$ la quantité.
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||||
$V\left(X\right)=E\left(\left(X-m\right)^2\right)$ où $m=E\left(X\right)$
|
||||
|
||||
Cas discret~: $V\left(X\right)=\sum_i\left(x_i-m\right)^2 P(X=x_i)$
|
||||
|
||||
Cas continue~: $V\left(X\right)=\int_\mathbb{R}\left(x-m\right)^2 f(x)dx$
|
||||
|
||||
$\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}$ l'écart-type
|
||||
|
||||
La variance est une mesure de la dispersion de $X$ autour de la
|
||||
moyenne $m=E\left(X\right)$.
|
||||
|
||||
\paragraph{Propriété~:}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $V(a)=0$
|
||||
\item $V(\alpha X)=\alpha^2 V(X)\forall\alpha\in\mathbb{R}$
|
||||
\item $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ si $X$, $Y$ indépendantes.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Formule de König-Hyghans}
|
||||
|
||||
$$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$$
|
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Soient $X$ et $Y$ deux variables~:
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$$V(X+Y)=E\left(X+Y\right)-E^2(X+Y)$$
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$$V(X+Y)=E\left(X^2\right)+E\left(Y^2\right)+2E(X/cdot
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Y)-E^2(X)-E^2(Y)-2E(X)E(Y)$$
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$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+V(Y)+2E$$
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On appelle covariance de $X$, $Y$~:
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$$cov(X+Y)=E(X/cdot Y)-E(X)E(Y)$$
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$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X, Y)$$
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Si $X$, $Y$ sont indépendantes $\Rightarrow cov(X, Y)=0$
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\section{Lois de probabilité d'usage courant}
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\subsection{Lois discrètes}
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\subsubsection{Loi uniforme}
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$$X={1, 2, ..., n}$$
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$$P[X=k]=\frac{1}{n}\forall k=1, ..., n$$
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$$E(X)=\sum^n_{k=1}k P[X=k]=\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}k=\frac{n+1}{2}$$
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$$V(X)=E(X^2)-E(X)$$
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$$E(X^2)=\sum^n_1 k^2 P[X=k]=\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}k^2$$
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\paragraph{Rappel~:}
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$$\sum^n_1 k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
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$$E(X^2)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$$
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$$V(X)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n+1)^2}{4}=\frac{n^2-1}{12}$$
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\subsubsection{Loi de Bernoulli $B(p)$}
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C\'est la loi d'une varuable aléatoire $X$ pouvant prednre que les
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deux valeurs 1 ou 0 avec les probabilités $p$ et $1-p$.
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$X$ est la fonction indicatrice d'un évévement $A$ de probabilité $p$
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$$E(X)=\sum_0^1 k P[X=k]=p$$
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$$E(X^2)=\sum_0^1 k^2 P[X=k]=p$$
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$V(X)=p-p^2=p(1-p)=pq$ où $q=1-p$
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\subsubsection{Loi binomiale $B(n, p)$}
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Supposons que l'on répète $n$ fois dans des conditions identiques une
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expérience aléatoire dont l'issue se traduit par l'apparition (ou la
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non-apparition) d'un événement $A$ de probabilité $p$. Les résultats
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de chaque expériences sont indépendants.
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$X$ est le nombre de réalisations de $A$.\\
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Somme indépendante de variable de Bernoulli~:
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$$X=\sum^n_{i=1}$$
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$$P[X=k]=C^k_n p^k(1-p)^{n-k}$$
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$X_i$ suit $B(p)$
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$$E(X)=\sum^n_{i=1}E(X_i)=np$$
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$$V(X)=\sum^n_{i=1}V(X_i)=np(1-p)=npq$$
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\subsubsection{Loi de Poisson $P(\lambda)$}
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C'est la loi d'une variable aléatoire entière positive qui satisfait à
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$P\left[X=x\right]=e^{i\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}\forall x\in\mathbb{N}$
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$\lambda_i$ paramètre de Poisson.\\
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On obtient la loi de Poisson comme approximation de la loi binomiale
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$B(n, p)$ avec $n\mapsto\infty$, $p\mapsto 0$ et $np\mapsto\lambda$
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$$C^k_n p^k(1-p)^{n-k}\simeq e^{-np}\times\frac{(np)^k}{k!}\qquad\lambda=np$$
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\paragraph{Théorème} Soit $X_n$ une suite de valeurs aléatoires $B(n, p)$
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telles que $n\mapsto +\infty$ et $p\mapsto 0$ de manière à ce que le produit
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$n\times p\mapsto \lambda$ (finie), alors $X_n$ converge en loi vers une
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variuable de Posiion $P(\lambda)$.
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\paragraph{Démonstration}
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$$P[X_n=k]=C^n_k p^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}p^k(1-p)^{n-k}$$
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$$P[X_n=k]=\frac{n(n-1)(n-1)...(n-k+1)}{k!}p^k(1-p)^n-k$$
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$$P[X_n=k]=\frac{(np)^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...
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(1-\frac{k-1}{n})(1-p)^{n-k}$$
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$$(1-p)^{n-k}=(1-p)^n\times (1-p)^{-k}$$
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$$(1-p)^{-k}\longrightarrow_{p\rightarrow 0} 1$$
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$$np\sim\lambda\Leftrightarrow\frac{\lambda}{n}$$
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$$(1-p)^n\sim(1-\frac{\lambda}{n})^n$$
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Rappel~: $lim_{n/mapsto +\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$
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$$C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\longrightarrow_{n\mapsto +\infty; p\rightarrow 0}
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\frac{\lambda^k}{k!}e^{-k+}$$
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\subparagraph{Espèrance}
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Soit $X$ suit $P(\lambda)$~:
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$$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}k P[X=k]=\sum_{k=0}^{+\infty}k\cdot e^{-k}
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\frac{\lambda^k}{k!}$$
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$$E(X)=e^{-k}\sum^{+\infty}_{k=1}\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}=
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e^{-\lambda}\lambda e^\lambda=\lambda$$
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Rappel~: $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{X^k}{k!}=e^x$$
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$$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$$
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$$E(X^2)=\sum_{k=0}^{+\infty}k^2e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$
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$$E(X^2)=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}k\cdot\frac{\lambda^k}{(k-1)!}$$
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$$E(X^2)=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}(k-1+1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!}=
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e^{-\lambda}\sum_{k=2}\frac{\lambda^2}{(k-2)!}+
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||||
e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}$$
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$$E(X^2)=e^{-\lambda}\lambda^2e^2+e^{-k}\lambda e^k=\lambda^2+\lambda$$
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$$V(X)=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$$
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\subsubsection{Loi hypergéométrique $H(N, n, p)$}
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Soit une population de $N$ individus parmis lesquelles, une proportion $p$
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($n\cdot p$ individus) possèdent un certain caractère.
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On prélève un échantillon de $n$ individus parmis cette population (tirage sans
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remise).
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Soit $X$ la variable aléatoire~: le nombre d'individus de l'échantillon
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possédant la propriété. On dit que $X$ suit la loi hypergéométrique.
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La probabilité de $X$~: $P[X=x]=\frac{C^{x}_{N\cdot p}\cdot
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C^{n-x}_{N-N\cdot p}}{C^n_N}$
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\paragraph{Remarque} $H(N, n, p)\rightarrow B(n, p)$ quand $N\rightarrow
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+\infty$ (loi binomiale).
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En pratique, ce résultat est vrai lorsque $\frac{n}{N}<10\%$ ($\frac{n}{N}$ est
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le taux de sondage).
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$$E(X)=n\cdot p$$
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$$V(X)=\left(\frac{N-n}{N-1}\right)\cdot n\cdot p\cdot (1-p)$$
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\subsubsection{Loi géométrique et loi de Pascal}
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C'est la loi du nombre d'essais nécessaire pour faire apparaître un événement
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$A$ de probabilité $p$.
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$$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p\qquad\forall x\geq 1$$
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$$1-p=q\qquad P[X=x]=q^{x-1}\cdot p$$
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$$E(X)=\sum^{+\infty}_{x=1}x(1-p)^{x-1}\cdot p=p\cdot\sum^{+\infty}_{x=1}x\cdot q^{x-1}$$
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Rappel~: $\sum^{+\infty}_{k=0} q^k=\frac{1}{1-q}\qquad q>1$
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$$f(q)=\sum^{+\infty}_{x=0}q^x=\frac{1}{1-q}$$
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En dérivant~:
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$$\sum_{x=1}^{+\infty} x\cdot q^{x-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$$
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$$E\left(X\right)=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}$$
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||||
$$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$$
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$$E(X^2)=\sum^{+\infty}_{x=1}x^2(1-p)^{x-1}\cdot p=
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p\sum^{+\infty}_{x=1}x^2\cdot (1-p)^{x-1}$$
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||||
En utilisant la dérivée seconde de $f(q)=\sum^{+\infty}_{n=0}q^x$, on obtient~:
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$$V(X)=\frac{q}{p^2}\qquad (q=1-p)$$
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La loi de Pascal d'ordre $n$ est la loi du nombre d'essais nécessaires pour
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observer $n$ fois un évènement $A$ de probabilité $P$. L'expérience devant se
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terminer par $A$.
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$$P[X=x]=p\cdot C^{n-1}_{x-1}p^{n-1}\cdot q^{x-n}$$
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$$P[X=x]=C^{n-1}_{x-1}p^n\cdot q^{x-n}\qquad\forall x\geq n$$
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Donc $X=\sum^{n}_{i=1}X_i$ somme indépendante de lois géométriques de paramètre
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$p$.
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$$E(X)=\sum^{n}_{i=1}E(X_i)=\frac{n}{p}$$
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$$V(X)=\sum^{n}_{i=1}=\frac{n\cdot p}{p^2}$$
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\paragraph{Exercice}
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Le nombre d'appel que reçoit un standard téléphonique par minute obéït à la loi
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de Poisson $P(3)$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le nombre moyen d'appels par minutes ainsi que la variance.
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\item Quelle est la probabilité d'avoir reçu un appel au cours d'une minute.
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\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins trois appels dans une minute.
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\end{enumerate}
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\paragraph{Exercice}
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Un individu décide de jouer à un jeu de loto jusqu'à ce qu'il gagne à un rang
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minimum qu'il s'est fixé. La probabilité de gain pour ce rang à chaque tirage
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est $p$. On note $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tirage
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auquels il doit participer pour atteindre son objectif.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ et donner sa fonction de
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répartition.
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\item Donner le nombre moyen de tirage nécessaires ainsi que la variance.
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\item Quelle est la probabilité pour qu'il gagne après $n$ tirages.
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\item N'ayant toujours pas gagné à l'issue du $n$ième tirage, calculer la
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probabilité pour qu'il gagne au $(n+k)$ième tirage.
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\end{enumerate}
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||||
\end{document}
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