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@@ -1011,10 +1011,200 @@ $[\alpha_i,\alpha_{i+1}]\quad i=0,1,\ldots k$ et ensuite à approcher chaque
 $\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx$ en remplaçant $f(x)$ par son polynôme
 d'interpolation.
 
-\paragraph{Exemple} $t_i\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$
+\paragraph{Exemple 1} $t_i\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$
 
 $$f(x)\simeq P_0(x)=f(t_i)\quad\forall x\in\left[\alpha_i,\alpha_{i+1}\right]$$
 $$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx\simeq(\alpha_{i+1}-\alpha_i)f(t_i)$$
 $$\int^\beta_\alpha
 f(x)dx\simeq\sum^{k-1}_{i=0}\left(\alpha_{i+1}-\alpha_i\right)f(t_i)\quad\text{Somme
 de Riemann}$$
+
+\paragraph{Exemple 2} Sur $[\alpha_i, \alpha_{i+1}]$ on interpole $f(x)$ par
+$P_1(x)$ polynôme de degré 1 qui interpole $f(x)$ aux points $\alpha_i$ et
+$\alpha{i+1}.$
+
+$$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha}f(x)dx\simeq
+\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha}P_1(x)dx
+=\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha}\left[\left(
+\frac{x-\alpha_{i+1}}{\alpha_i-\alpha_{i+1}}\right)f(\alpha_i)+
+\frac{x-\alpha_{i+1}}{\alpha_i-\alpha_{i+1}}f(\alpha_{i+1})\right]$$
+$$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha}f(x)dx\simeq
+\frac{f(\alpha_i)}{\alpha_i-\alpha_{i+1}}\left[
+\frac{\left(x-\alpha_{i+1}\right)^2}{2}\right]^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}
++\frac{f(\alpha_{i+1})}{\alpha_{i+1}-\alpha_i}$$
+$$\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha}f(x)dx\simeq
+\frac{(\alpha_{i+1})-\alpha_i}{2}\left(
+f(\alpha_i)+f(\alpha_{i+1})\right)$$
+$$\int^\beta_\alpha f(x)dx=
+\sum^{k-1}_{i=0}\int^{\alpha_{i+1}}_{\alpha_i}f(x)dx\simeq
+\sum^{k-1}_{i=0}\frac{(\alpha_{i+1}-\alpha_i)}{2}\left(
+f(\alpha_i)+f(\alpha_{i+1})\right)$$
+$$\int^\beta_\alpha f(x)dx\simeq\sum^{k-1}_{i=0}
+\frac{\alpha_{i+1}-\alpha_i}{2}(f(\alpha_i)+f(\alpha_{i+1}))$$
+
+\paragraph{Définition} Soit la méthode d'intrégration $\int^\beta_\alpha
+f(x)p(x)dx\simeq\sum^k_{i=0}$.
+
+Nous dirons que la méthode d'intrégration est d'ordre N si elle est exacte pout
+tout polynôme de degré $\lq N$, c'est-à-dire~: $E(f)=\int^\beta_\alpha
+f(x)p(x)dx-\sum^k_{i=0}\alpha_i f(x_i)=0\quad\forall f\text{ un polynôme }d\lq
+N$.
+
+Soit $U_+=\max(u,0)$.
+Pour $t$ fixé, $K_N(t)=E(x\mapsto (x-t)^N_t)\quad N\text{~: ordre de la
+  méthode}$ s'appelle le noyau de Péano de la méthode d'intégration. avec la
+convention $(x-t)^0_t=1\quad x\ge t\qquad = 0\quad x<t$.
+
+\paragraph{Théorème} de Péano\\
+
+On suppose que la méthode d'intégration d'intégration est d'ordre $N\ge 0$ et
+que $f\in\mathcal{C}^{N+1}[a,b]$ alors~:
+
+$$E(f)=\frac{1}{N!}\int^b_aK_N(t)f^{(N+1)}(t)dt$$
+
+\subparagraph{Conséquence} $$|E(f)|\le\frac{1}{N!}M_{N+1}\int^b_aK_N(t)
+f^{(N+1)}(t)dt$$
+
+\subparagraph{Corollaire} Si de plus $K_N(t)$ garde un signe constant sur
+$[a,b]$ alors $\exists\eta\in[a,b]$
+$$E(f)=\frac{f^{(N+1)}(\eta)}{(N+1)!}E(x\mapsto x^{(N+1)})$$
+
+\paragraph{Démonstration du corollaire}
+
+\subparagraph{Rappel} La deuxieme formule de la moyenne.
+
+$f(x)$, $g(x)$ continue sur $[a,b]$. On suppose que $g(x)$ garde un signe
+constant sur $[a,b]$ alors $\exists\eta\in[a,b]$ tel que $\int^b_af(x)g(x)dx=
+f(\eta)\int^b_a g(x)dx$
+
+\subparagraph{1\iere{} formule}
+$$\exists c\in[a,b]/\int^b_af(x)dx=(b-a)f(c)$$
+$$E(f)=\frac{1}{N!}\int^b_aK_N(t)f(t)dt$$
+
+D'après la deuxième formule de la moyenne~:
+
+$$\exists\eta\in[a,b]/E(f)=\frac{f^{(N+1)}(\eta)}{N!}
+\int^b_aK_N(t)dt\quad E(x\mapsto X^{N+1})$$
+$$=\frac{(N+1)!}{N!}\int^b_a
+K_N(t)dt=\int^b_a K_N(t)dt=\frac{E(x\mapsto X^{N+1})}{N+1}$$
+$$E(t)=\frac{f^{(N+1)}(\eta)}{N!}\int^b_aK_N(t)dt\quad\forall
+f\in\mathcal{C}^{N+1}$$
+$$\Rightarrow E(t)=\frac{f^{(N+1)}(\eta)}{N!}\frac{E(x\mapsto X^{N+1})}{N+1}=
+\frac{f^{(N+1)}(\eta)}{(N+1)!}E(x\mapsto X^{N+1})$$
+
+\paragraph{Exercice 8} Soit $f(x)$ continue donnée aux points~: $f(0)=1$,
+$f(2)=5$, $f(3)=10$, $f(4)=15$.
+
+Interpoler $f(1)$ par le polynôme d'interpolation de Lagrange.
+$$P_3(x)=\sum^3_{i=0}L_i(x)f(x_i)=\sum^3_{i=0}\prod^3_{j\neq i\quad j=0}
+\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}f(x_i)$$
+
+$$L_0(1)=\frac{(1-2)(1-3)(1-4)}{(-2)(-3)(-4)}=\frac{6}{14}=\frac{1}{4}$$
+$$L_1(1)=\frac{(1-0)(1-3)(1-4)}{(2)(2-3)(2-4)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$
+$$L_2(1)=\frac{1(-1)(-3)}{3(1)(-1)}=-1$$
+$$L_3(1)=\frac{(1)(-1)(-2)}{(4)(2)(1)}=\frac{1}{4}$$
+
+Donc~: $f(1)\simeq P_3(1)=\frac{1}{4}(1)+\frac{3}{2}(5)-1\times
+10+\frac{1}{4}\times 15=\frac{3}{2}$
+
+\paragraph{Exercice 9} On considère les méthode d'intégration~:
+
+\begin{equation}
+  \int^k_0 f(x)dx\simeq h.f(\frac{h}{2})
+  \label{eq:f1}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  \int^h_0 f(x)dx\simeq\frac{h.\left(f(i)+f(h)\right)}{2}
+  \label{eq:f2}
+\end{equation}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Déterminer l'ordre de chaque méthode.
+  \item Déterminer le noyau de Péano.
+  \item Étudier l'erreur d'intégration pour chaque méthode.
+\end{enumerate}
+
+\subparagraph{L'ordre de la méthode (\ref{eq:f1})}
+
+$$f(x)=1\qquad \int^h_0f(x)dx=\int^h_0dx=h$$
+$$h.f(\frac{h}{2})=h$$
+$$\Rightarrow E(x\mapsto 1)=0$$
+
+$$f(x)=x\qquad\int^h_0f(x)dx=\int^h_0xdx=\left[\frac{x^2}{2}\right]^h_0=
+\frac{h^2}{2}$$
+$$h(\frac{h}{2})=\frac{h^2}{2}$$
+$$\Rightarrow E(x\mapsto x)=0$$
+
+$$f(x)=x^2\qquad\int^h_0x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]^h_0=\frac{h^3}{3}$$
+$$h.f(\frac{h}{12})=h.\frac{h^2}{3}-\frac{h^3}{4}=\frac{h^3}{12}\neq 0$$
+
+Donc, la première méthode est d'ordre 1 (exacte pour le polynôme d'ordre $\le
+1$).
+
+\subparagraph{L'ordre de la méthode (\ref{eq:f2})}
+
+$$f(x)=1\qquad\int^h_01dx=h$$
+$$h(\frac{f(0)+f(h)}{2})=\frac{2h}{2}=h$$
+$$\Rightarrow E(x\mapsto 1)=0$$
+
+$$f(x)=x\qquad\int^h_0xdx=\frac{h^2}{2}$$
+$$h(\frac{f(0)+f(h)}{2})=\frac{h^2}{2}=h$$
+$$\Rightarrow E(x\mapsto x)=0$$
+
+$$f(x)=x^2\qquad\int^h_0x^2dx=\left[\frac{h^3}{3}\right]^h_0=\frac{h^3}{3}$$
+$$h(\frac{f(0)+f(h)}{2})^2=\frac{h^3}{2}=h$$
+$$\Rightarrow E(x\mapsto x^2)=\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{2}=\frac{-h^3}{6}\neq0$$
+
+$$\Rightarrow N=1$$
+
+\subparagraph{Noyau de Péano}
+
+$$K_1(t)=E(x\mapsto (x-t)_+)$$
+$$\forall t\in[a,h]\quad
+K_1(t)=\int^h_0(x-t)_+dx-h\left(\frac{h}{2}-t\right)_+$$
+$$=\int^h_t(x-t)dx-h\left(\frac{h}{2}-t\right)_+$$
+
+$$K_1(t)=\left[\frac{(x-t)^2}{2}\right]-h\left(\frac{h}{2}-t\right)_+$$
+$$=\frac{(h-t)^2}{2}-h(\frac{h}{2}-t)_+$$
+
+1\ier cas~: si $\frac{h}{2}<t\leq h$
+$$K_1(t)=\frac{(h-t)^2}{2}$$
+
+2\ieme cas~: $0\leq t\leq\frac{h}{2}$
+$$K_1(t)=\frac{(h-t)^2}{2}-h\left(\frac{h}{2}-t\right)$$
+$$K_1(t)=\frac{h^2-2ht+t^2}{2}-\frac{h^2}{2}+ht$$
+$$K_1(t)=\frac{t^2}{2}$$
+
+On trouve que $K_1(t)\leq0\forall t\in[a,h]$.
+D'après le corollaire de Péano~:
+$$\exists\eta\in[a,h]/E(f)=\frac{f^{''}(\eta)}{2!}
+\frac{h^3}{12}=\frac{h}{24}f^{''}(\eta)$$
+$$|E(f)|\leq c\frac{h^3}{24}\quad c=\max|f(x)|$$
+
+\subparagraph{Péano de la méthode (\ref{eq:f2})}
+
+$$K_1(t)=t\left(x\mapsto (x-t)_+\right)$$
+$$=\int^h_0(x-t)_+dx-\frac{h}{2}\left((-f)+(h-t)_+\right)$$
+
+$$K_1(t)=\int^h_t(x-t)dx-\frac{h}{2}(h-t)\quad\text{car }0\leq t\leq h$$
+$$(-t)_+=0\quad\text{car }0\leq t\leq h$$
+
+$$K_1(t)=\left[\frac{(x-t)^2}{2}\right]^h_t-\frac{h}{2}(h-t)$$
+$$=\frac{(h-t)^2}{2}-\frac{h}{2}(h-t)=\frac{h^2-2ht-t^2}{2}-\frac{h^2}{2}+
+\frac{ht}{2}=-ht+\frac{t^2}{2}+\frac{ht}{2}=
+-\frac{ht}{2}+\frac{t}{2}=\frac{t}{2}(t-h)\leq 0\quad\text{car }0\leq t\leq h$$
+
+D'après le corollaire de Péano~:
+$$\exists\eta\in[a,h]/E(f)=\frac{f^{''}(\eta)}{2!}E(x\mapsto
+x^2)=-\frac{h^3}{12}f(\eta)$$
+$$|E(f)|\leq c\frac{h^3}{12}\quad c=\max|f^{''}(x)|$$
+
+\paragraph{Exercice 10}
+
+$$\int^1_0f(x)dx\simeq\frac{1}{4}\left(f(c)+3f(\frac{2}{3})\right)$$
+
+\begin{enumerate}
+  \item Ordre
+  \item Noyau de Péano
+  \item Erreir d'intégration
+\end{enumerate}