Cours GRF du jour

grf/cours.tex

@@ -1124,115 +1124,176 @@ X=\bordermatrix{~ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ~\cr
               & {\color{yellow}14} & {\color{yellow}5} & {\color{yellow}73}\cr}
 \]
 
-%cours du 5/06
+%cours du 5/06 et du 11/06
 \section{Problèmes de flot maximal}
-Applications de 2 sortes :
--> type réseau (de communication, routier, fluvial)
-Comment faire passer les éléments pour acheminer le débit maximun tout en
-respectant toutes les contraintes de capacité ?
-%ici faire petit dessin :)
--> type affectation -> exemple : graphe biparti
-%ici faire petit dessin :)
-employés :
--couplage de cardinal maximun (employé, tâche)
-(1, b) -> coupable de cardinal 1
-(1, a)
-(2, b) cardinal 2
 
-Définitions :
+Il existe 2 types d'applications~:
-Un réseau de transport est un graphe sans boucle qui comporte une entrée ou une
+\begin{itemize}
-source et une sortie ou puits.
+  \item type réseau (de communication, routier, fluvial)~: comment faire
-%graphe ici
+    passer les éléments pour acheminer le débit maximun tout en
--Chaque arc u est doté d'une capacité c(u)
+    respectant toutes les contraintes de capacité~?
-On s'intéresse à une fonction, appelée le flot. On associe à chaque arc une
+  \item type affectation, par exemple un graphe biparti.
-fonction f(u) = flux transitant dans l'arc u.
+\end{itemize}
-$flot = \{\ flux\ \}_\text{tous les arcs}$
-f(u): inconnue
-c(u): donnée
--Le flot doit respecter 2 types de contraintes :
-(1) $\forall{u}: 0=<f(u)<=c(u)$
-(2) $\forall$ le noeud x dans le réseau, loi de kirshoff.
-[si f(u)=c(u), on dit que l'arc u est saturé]
 
+\paragraph{Définition} Un \emph{réseau de transport} est un graphe
+orienté sans boucle qui comporte une entrée (ou une source $s$) et une
+sortie (ou puits $p$).\\
 
-$$\sum\text{flux entrants}=\sum\text{flux sortants}$$ $\forall$ le noeud x
+Chaque arc $u$ est doté d'une capacité $c(u)\geq 0$, représenté $[]$
--Tout flot qui respect dans le réseau les contraintes de type (1) et (2) est
-dit valide:
-exemple : flot nul.
-val(f) se définit de 3 manières différentes.
-(1) Valeur à la source [hypothès: pas de flux entrants dans s]
-$$val(f)=\sum\text{flux des arcs issues de s}$$
-= Chaque arc u est doté d'une capacité c(u)
-(2) Valeur au puits p [pas de flux sortants de p]
-$$val(f)=\sum\text{flux des arcs entrants dans p}$$
-(3) Valeur au niveau d'une coupe $$(S, \bar{S})$$ séparant la source du puits.
-S=ensemble de sommets du réseau qui contient
-obligatoirement s et qui ne contient pas p.
-$$\bar{S} = \text{ensemble de sonnets complémentaires}$$.
-$$val(f)=(\sum{f(S,\bar{S})}) - (\sum{f(\bar(S), S)})$$
-$\sum{f(S,\bar{S})}$ : somme des flux des ars ayant leur origine dans S
-et leur extrémité dans $$\bar{S}$$
-$\sum{f(\bar(S), S)}$ : somme des flux des arcs ayant leur origine dans
-$$\bar{S}$$ et leur extrémité dans S
-Propriété : $\forall$ la coupe $$(S, \bar{S})$$ considérée, la valeur du flot
-mesurée au niveau de cette coupe est la même : c'est val(f)
 
--Capacité d'une coupe $$(S,\bar{S})$$
+On s'intéresse à une fonction, appelée le flot.\\
-$c(S,\bar{S}) = \sum{c(u)}_{arcs allant de S vers \bar{S}}$
-Propriétés (admises) :
-[1] $\forall$ la coupe $$(S,\bar{S})$$ considérée, la valeur du flot mesurée
-au niveau de cette coupe est la même
-[2] Soit f un flot $\forall$ établi dans un réseau de transport
-(1) $$val(f) =< c(S,\bar{S})$$, $\forall$ la coupe $$(S,\bar{S})$$ considérée
-(2) Si on trouve un flot f et une coupe $$(S,\bar{S})$$ tels que :
-$$val(f) = c(S,\bar{S})$$, alors le flot est de valeur maximale
--> c'est le flot optimal
 
-Théoreme de la coupe et du flot :
+On associe à chaque arc une fonction $f(u)=\text{flux transitant dans
-Flot de valeur maximum $$\equiv$$ coupe de capacité minimal
+  l'arc} u$.  $flot=\text{flux}_\text{tous les arcs}$ $f(u)$~:
-(3) Lorsque le flot maximal (et la coupe de $$(S,\bar{S})$$ capacité minimale) :
+inconnue $c(u)$~: donnée. C'est ce que l'on appel un \emph{flot}.
-{ Pour tout arc de $$(S,\bar{S})$$, il est saturé: $$f(u)=c(u)$$
-{ Pour tout arc de $$(\bar{S},S)$$, il est de flux nul: $$f(u) = 0$$
 
-Détermination du flot maximal; algorithme de FORD-FULKERSON
+Celui-ci doit respecter 2 types de contraintes~:
--On suppose établi un certain flot dans le réseau de transport (peut être
+\begin{enumerate}
-un flôt de bonne qualité déterminé empiriquement, ou alors peut être le
+  \item $\forall{u} : 0\leq f(u) \leq c(u)$
-flot nul)
+  \item $\forall\text{ noeud }x$ dans le réseau, la loi de
--On cherche s'il existe dans le réseau une chaîne augmentante:
+    Kirshoff est vérifiée. (si $f(u)=c(u)$, on dit que l'arc $u$ est saturé).
--> si oui, alors on exploite cette chaine => nouveau flot de valeur supérieur
+\end{enumerate}
--> si non, alors le flot considéré est optimal.
+
--Chaîne augmentante : chaîne reliant s à p:
+$$\sum\text{flux entrants}=\sum\text{flux sortants}$$
-%ici schema
+
--Cette chaîne est dite augmentante si et seulement si il existe un nombre
+Un flot est valide si et seulement si, il respecte les deux conditions
-positif $\alpha$ que l'on peut ajouter au flux de tous les arcs à l'endroit
+ci-dessous. exemple~: le flot nul.
-(sans aller au delà de leur saturation) et retrancher de tous les arcs à
+
-l'envers (sans aller en-dessous du flux nul)
+\paragraph{Définition} une \emph{coupe} sépare la source du puits.
--Exploiter une chaine augmentante, c'est rechercher le $\alpha$ maximum.
+
+On appel $S$ l'ensemble de sommets incluant obligatoirement $s$ et excluant
+obligatoirement $p$.
+
+$\bar{S}$ est l'ensemble de sommets complémentaires.
+
+$(S,\bar{S})$ est une coupe séparant la source du puits.\\
+
+\paragraph{Propriété} $\forall$ coupe $(S, \bar{S})$ considérée, la valeur
+du flot mesurée au niveau de cette coupe est la même~: c'est $val(f)$
+
+\paragraph{Définition} La capacité d'une coupe se définit par~:
+$$c(S,\bar{S}) = \sum{c(u)}_{arcs allant de S vers \bar{S}}$$
+
+La valeur d'un flot ($val(f)$) se définit de 3 manières différentes~:
+\begin{enumerate}
+  \item Valeur à la source (hypothèse~: pas de flux entrants dans $s$)
+    $$val(f)=\sum_{\text{arcs issus de }s}f(u)$$
+  \item Valeur au puits $p$ (pas de flux sortants de $p$)
+    $$val(f)=\sum_{\text{flux des arcs entrants dans }p}f(u)$$
+  \item Valeur au niveau d'une coupe $(S, \bar{S})$ quelconque.
+    $$val(f)=\sum_{\text{arcs allant de }S\text{ vers }\bar{S}}f(u)
+    \sum_{\text{arcs allant de }\bar{S}\text{ vers }S}f(u)$$
+\end{enumerate}
+
+\paragraph{Résultats théoriques}
+\begin{enumerate}
+  \item $\forall$ coupe $(S,\bar{S})$ considérée, la valeur du flot mesurée au
+    niveau de cette coupe est la même~;
+  \item $\forall\text{ flot }f$ et $\forall\text{ coupe }(S, \bar{S})$, établi dans un réseau de
+    transport~: $Val(f)\leq c(S,\bar{S})$.\\
+    Si on trouve un flot $f$ et une coupe $(S,\bar{S})$ tels que~: $Val(f) =
+    c(S,\bar{S})$, alors le flot est de valeur maximale, c'est le flot optimal
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Théorème du float maximal}
+
+Le flot de valeur maximum est identique à la coupe de capacité minimale.
+
+La coupe $(S,\bar{S})$ de capacité minimale respecte les propriétés suivantes~:
+\begin{itemize}
+  \item Tout arc $u$ allant de $S$ vers $\bar{S}$ dont $f(u)=c(u)$ est dit saturé.
+  \item Tout arc $u$ allant de $\bar{S}$ vers $S$ est de flux nul ($f(u)=0$).
+\end{itemize}
+
+Lorsque le flot est maximal (et que la coupe de $(S,\bar{S})$ est de capacité
+minimale)~: { Pour tout arc de $(S,\bar{S})$, il est saturé: $f(u)=c(u)$ { Pour
+    tout arc de $(\bar{S},S)$, il est de flux nul~: $f(u) = 0$
+
+\subsection{Algorithme de Ford-Fulkerson}
+
+Cet algorithme a pour but de déterminer le flot optimal dans un réseau de
+transport donné.
+
+\begin{itemize}
+  \item On part d'un flot initial établi dans le réseau (soit un flot établi à
+    la main, soit un flot nul)~;
+  \item on cherche s'il existe dans le réseau une \emph{chaîne augmentante}~
+    reliant $s$ à $p$~:
+\begin{tikzpicture}[>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
+  thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
+  \node[main node] (1) {$s$};
+  \node[main node] (2) [right of=1] {};
+  \node[main node] (3) [right of=2] {};
+  \node[main node] (4) [right of=3] {};
+  \node[main node] (5) [right of=4] {$p$};
+
+  \path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
+    (1) edge [->, right] node[right] {$[6]$ 2} (2)
+    (3) edge [->, right] node[right] {$[3]$ 3} (2)
+    (3) edge [->, right] node[right] {$[12]$ 5} (4)
+    (4) edge [->, right] node[right] {$[7]$ 1} (5)
+;
+\end{tikzpicture}
+  \item Cette chaîne est dite \emph{augmentante} si et seulement s'il existe un
+    nombre positif $\alpha$ que l'on peut ajouter au flux de tous les arcs à
+    l'endroit (sans aller au delà de leur saturation) et retrancher de tous les
+    arcs à l'envers (sans aller en-dessous du flux nul). Ici~:
+    $\alpha_{\max}=3$ et $\alpha_{\min}=\left(\min\left(c(u)-f(u)\right);\min
+      f(u)\text{ des arcs à l'envers}\right)$
+  \item Exploiter une chaine augmentante, c'est rechercher le $\alpha$ maximum.
 $$\alpha = [Min(c(u)-f(u)); Min f(u)]$$
-Algo de Ford-Fullkerson
+\end{itemize}
-(1) Faire passer un flot au pigé
-(2) Améliorer ce flot pour le rendre complet -> tout chemin de s à p comporte
-au moins 1 arc saturé.
 
-(3) * marquer l'entrée du réseau
+\subsubsection{Principe de l'algorithme de Ford-Fullkerson}
-    * marquer l'extrémité terminale J de tout arc (I,J) non saturé dont
+\begin{itemize}
-l'extrémité initiale est déjà marquée
+  \item On part d'un flot initial~;
-    * marquer l'extrémité initiale K de tout arc (K,L) de flux non nul dont
+  \item On cherche s'il existe une chaîne augmentante reliant $s$ à $p$.\\
-l'extrémité terminale L est déjà marquée.
+    Si oui~: on exploite cette chaîne, on augmente $\alpha$ de la valeur du
+    flot et on recommence cette étape.\\
+    Si non~: on a atteint le flot optimal.
+\end{itemize}
 
-Ces deux phaes de marquage avant et en arriere sont alternées jusqu'au blocage
+\subsubsection{Recherche d'une chaîne augmentante dans le réseau}
--> 2 cas de figure :
+Procédure de marquage des sommets.
-(a) on a pu marquer p -> alors il existe une chaîne augmentante identifiée à
+\begin{itemize}
-l'aide des marques. On explicite cette chaîne (recherche du $\alpha$)
+  \item marquer (on note $+$ à côté du sommet) l'entrée du réseau~;
-=> augmentationn de $\alpha$ de la valeur du flot
+  \item \textbf{marquage en avant~:} marquer ($+I$ à côté du sommet $J$)
-(b) on n'a pas pu marquer p => il n'existe pas de chaîne augmentante reliant
+    l'extrémité terminale $J$ de tout arc $(I,J)$ non saturé et dont
-s à p : le flot considéré est optimal.
+    l'extrémité initiale est déjà marquée~;
-Remarque : à l'issue de l'étape p, la coupe $$(S,\bar{S})$$ où S = liste des
+  \item \textbf{marquage en arrière~:} marquer ($-L$ à côté du sommet $J$)
-sommets marqués est la coupe de capacité minimale.
+    l'extrémité initiale $K$ de tout arc $(K,L)$ de flux non nul dont
+    l'extrémité terminale $L$ est déjà marquée.
+\end{itemize}
 
-Application (polycop. p103)
+Ces deux phaes de marquage avant et en arriere sont alternées jusqu'au blocage.
--2 ports A et B -> quantités 10 et 10
+
--marchandises demadée dans 3 ports C, D et E selon les quantités 9, 12 et 7
+Si au moment du blocage, on constate que l'on a pu marqué $p$, cela signifie
+que le flot considéré n'est pas encore optimal. On se sert alors des marques
+pour identifier les différents sommets constituant la chaîne augmentante.
+
+Si au moment du blocage, on constate que l'on a pas pu marqué $p$, dans ce cas
+le flot considéré est optimal.
+
+\paragraph{Remarque} Si l'on considère la dernière itération de marquage
+réalisé (où l'on n'a pas pu marqué $p$), on a la coupe $(S,\bar{S})$ de
+capacité minimale où $S$ est constitué de la liste des sommets marqués.
+
+On véfifie que la valeur de cette capacité est égale à la valeur du flot
+obtenu~: le flot maximal = la coupe de capacité minimale.
+
+\paragraph{Remarque} Pour diminuer le nombre d'itération de l'algorithme de
+Ford-Fullkerson, on s'efforce généralement de partir d'un \emph{flot initial
+  complet} (tout chemin de $s$ à $p$ comporte au moins un arc saturé).
+
+\paragraph{Attention} Ne pas confondre les problèmes de flot optimal avec les
+problèmes de plans de transport de coût minimal.
+
+\subsection{Application (poly. p103)}
+\begin{itemize}
+  \item 2 ports $A$ et $B$~: quantités 10 et 10~;
+  \item marchandises demandée dans 3 ports $C$, $D$ et $E$ selon les quantités
+    9, 12 et 7.
+  \end{itemize}
 \begin{figure}[h]
   \centering
   \begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
@@ -1254,45 +1315,113 @@ Application (polycop. p103)
   \end{tikzpicture}
 \end{figure}
 
-(1) Peut-on satisfaire toutes les demandes ? Non.
+\begin{enumerate}
-offre totale = $10+10=20$
+  \item Peut-on satisfaire toutes les demandes~?\\
-demande totale = $9+12+7=28$
+    Non, car l'offre est inférieure à la demande~:\\
+    offre totale = $10+10=20$~; demande totale = $9+12+7=28$
+  \item Comment organiser les expéditions de façon à louer un maximun
+    de marchandise~?
+\end{enumerate}
 
-(2) Comment organiser les expéditions de façon à louer un maximun
+\begin{itemize}
-de marchandise ?
+  \item transformer ce problème en un problème de recherche du flot maximal dans
-
+    un réseau de transport~;
--transformer ce problème en un problème de recherche du flot maximal dans
+  \item résoudre par l'algo de Ford-Fulkerson~;
-un réseau de transport.
+  \item \textbf{initialisation~:} on s'efforce de démarrer l'algo à partir d'un
--résoudre par l'algo de Ford-Fulkerson
+    flot complet (tout chemin de $s$ à $p$ comporte au moins 1 arc saturé)~:
--Initialisation -> on s'efforce de démarrer l'algo à partir d'un flot complet
+    \begin{itemize}
-(tout chemin de s à p comporte au moins 1 arc saturé :
+      \item flux 7 de $A$ vers $C$~;
-* flux 7 de A vers C
+      \item flux 9 de $C$ vers $p$~;
-* flux 9 de C vers p
+      \item Kirschoff au noeud $C$~: flux 2 de $B$ vers $C$ (OK car < capacité
-* Kirschoff au noeud C => flux 2 de B vers C (OK car < capacité de 5)
+        de 5)~;
-* flux 10 de s vers A
+      \item flux 10 de $s$ vers $A$~;
-* Kirschoff en A => flux 3 de A vers D (OK car < capacité de 4)
+      \item Kirschoff en $A$~: flux 3 de $A$ vers $D$ (OK car < capacité de
-* Kirschoff en D => flux 3 de D vers p (OK car < capacité de 12)
+        4)~;
-* on sature B-E
+      \item Kirschoff en $D$~: flux 3 de $D$ vers $p$ (OK car < capacité de
-* Kirschoff au moeud E => flux de 5 sur E-p (OK car < capacité de 7)
+        12)~;
-* Kirshchoff au noeud B => flux de 7 sur s-B (OK car < capacité de 10)
+      \item on sature $B-E$~;
+      \item Kirschoff au n\oe ud $E$~: flux de 5 sur $E-p$ (OK car < capacité
+        de 7)~;
+      \item Kirshchoff au noeud $B$~: flux de 7 sur $s-B$ (OK car < capacité de
+        10).
+    \end{itemize}
+\end{itemize}
 
 On a un flot complet de valeur 17.
 
-On a pu marquer p => le flot considéré n'est pas optimal :
+On a pu marquer $p$~: le flot considéré n'est pas optimal :
+
 %faire un graphe avec ça : s ->[10](7) B ->[5](2) C <-[7](7) A ->[4](3) D ->[12](3) p
 %devient 8, 3, 6, 4, 4
-$\alpha=1$ -> flot: de 17 à 18.
+\begin{figure}[h]
--Le nouveau flot est encore complet.
+  \centering
--Le nouveau flot est de valeur 18 ($10 + 8$ ou $9 + 4 + 5$)
+  \begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
-2e itération -> on ne peut pas marquer p => le flot optimal est de valeur 18
+    thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
--> La coupe où S = ensemble des sommets marqués en dernière itération
+    \node[main node] (s) {$s$};
-La capacité de la coupe $$(S,\bar{S})$$ est :
+    \node[main node] (A) [right of=s]{$A$};
-$c(C,p) + c(A,D) + c(B,E) = [9] + [4] + [5] = 18$
+    \node[main node] (B) [right of=A]{$B$};
+    \node[main node] (C) [right of=B]{$C$};
+    \node[main node] (D) [right of=C]{$D$};
+    \node[main node] (p) [right of=D]{$p$};
+
+    \path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
+    (s)  edge [right] node[right] {[10] 8} (A)
+    (A)  edge [right] node[right] {[5] 3} (B)
+    (B)  edge [right] node[right] {[7] 6} (C)
+    (C)  edge [<-, right] node[right] {[4] 4} (D)
+    (D)  edge [right] node[right] {[12] 4} (p)
+    ;
+  \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+Exploitation de la chaîne augmentente avec $\alpha$ : le flot passe de 17 à 18.
+
+\begin{itemize}
+  \item Le nouveau flot est encore complet~;
+  \item le nouveau flot est de valeur 18 ($10 + 8$ ou $9 + 4 + 5$)~;
+\end{itemize}
+
+2\ieme itération~: on ne peut pas marquer $p$, donc le flot optimal est de
+valeur 18.
+
+La coupe où $S$ équivaut à l'ensemble des sommets marqués en dernière
+itération.
+
+La capacité de la coupe $(S,\bar{S})$ est~: $c(C,p) + c(A,D) + c(B,E) = [9] +
+[4] + [5] = 18$
+
 On a trouvé une coupe dont la capacité est alors à la valeur d'un flot.
--> C'est que le flot es de valeur maximum et la coupe est de la capacité mini
+
-Remarque: tous les acs de $$(S,\bar{S})$$ sont saturés
+C'est que le flot de valeur maximum et la coupe est de la capacité minimal.
-(tous les arcs de $$(\bar{S},S)$$ sont de flux nul)
+
+\paragraph{Remarque} Tous les arcs de $(S,\bar{S})$ sont saturés (tous les
+arcs de $(\bar{S},S)$ sont de flux nul)
 
 %ici graphe et tableau exo
+\begin{figure}[h]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
+    thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
+    \node[main node] (A) {$A$};
+    \node[main node] (s) [below left of=A]{$s$};
+    \node[main node] (B) [below right of=s]{$B$};
+    \node[main node] (C) [below right of=A]{$C$};
+    \node[main node] (D) [right of=A]{$D$};
+    \node[main node] (E) [right of=B]{$C$};
+    \node[main node] (p) [right of=C]{$p$};
 
-Flot max de 4 (En partant du flot nul)
+    \path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
+    (s)  edge [right] node[right] {[10] 10} (A)
+    (s)  edge [right] node[right] {[10] 8} (B)
+    (A)  edge [right] node[right] {[7] 6} (C)
+    (A)  edge [right] node[right] {[4] 4} (D)
+    (B)  edge [right] node[right] {[5] 3} (C)
+    (B)  edge [right] node[right] {[5] 5} (E)
+    (C)  edge [right] node[right] {[9] 9} (p)
+    (D)  edge [right] node[right] {[12] 4} (p)
+    (E)  edge [right] node[right] {[5] 7} (p)
+    ;
+  \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+Flot maximal de 4 (En partant du flot nul)