1er cours de « Graphe réseaux flots »
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base.tex
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@ -20,6 +20,8 @@
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\lstset{language=C++,keywordstyle=\color{blue},stringstyle=\color{mauve}}
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\usetikzlibrary{arrows}
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\begin{document}
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\input{main}
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@ -0,0 +1,431 @@
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\chapter{Connectivité dans un graphe}
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\section{Algorithme de Roy-Warshall}
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\paragraph{Exercice page 101}
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\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=20pt,inner sep=0pt]
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\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]
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\tikzstyle{weight} = [font=\small]
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\tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50]
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\tikzstyle{ignored edge} = [draw,line width=5pt,-,black!20]
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\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
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thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
||||
\node[main node] (1) {A};
|
||||
\node[main node] (2) [right of=1] {B};
|
||||
\node[main node] (3) [right of=2] {C};
|
||||
\node[main node] (4) [below of=2] {D};
|
||||
\node[main node] (5) [below right of=3] {E};
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\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
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(1) edge node[right] {$u_1$} (2)
|
||||
edge node[left] {$u_2$} (4)
|
||||
(2) edge node[left] {$u_3$} (3)
|
||||
(3) edge node[left] {$u_4$} (5)
|
||||
(4) edge node [left] {$u_5$} (3)
|
||||
edge node[left] {$u_6$} (5)
|
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;
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
Soit $M$ la \emph{matrice binaire} associée à un graphe.
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\[
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M= \begin{bmatrix}
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0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
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||||
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
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\subsubsection{Représenter le graphe associé.}
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$M$ est la matrice $n\times n$ avec $n$ le nombre de sommets (ou n\oe uds) du
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graphe.\\
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||||
Ici, on a 5 sommets~: $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$.
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$$m_{i,j}=1\Longleftrightarrow\exists\text{ un arc }(i,j)$$
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||||
\subsubsection{Donner la matrice d'incidence de ce graphe.}
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||||
Soit la matrice $A$~: $n\times m$, avec $n$ le nombre de \emph{sommets} du
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graphe et $m$ le nombre \emph{d'arcs} du graphe.
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||||
\[
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||||
M=\bordermatrix{~ & u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \cr
|
||||
A & +1 & +1 & & & & \cr
|
||||
B & -1 & & +1 & & & \cr
|
||||
C & & & & +1 & -1 & \cr
|
||||
D & & -1 & & & +1 & +1 \cr
|
||||
E & & & & -1 & & -1 \cr}
|
||||
\]
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||||
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||||
$a_{i,j}=+1$ si $i$ est à l'origine de l'arc $j$, $a_{i,j}=-1$ si $i$ est à
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||||
l'extrêmité terminale de $j$, $a_{i,j}=0$ sinon.
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||||
\subsubsection{Calculer $M^2$, $M^3$, $M^4$, \ldots et interpréter les termes non nuls de ces matrices.}
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||||
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||||
\[
|
||||
M^2= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 2 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
$a_{3,1}=2$, cela signifie qu'il existe deux chemins de longueur 2 reliant $A$
|
||||
à $C$~: $ABC$ et $ADC$.
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||||
$a_{5,1}=2$, cela signifie qu'il existe un chemin de longueur 2 reliant $A$
|
||||
à $E$~: $ADE$.
|
||||
|
||||
\[
|
||||
M^3= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 2\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\qquad
|
||||
M^4= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix} = M^n\quad\forall n\geq 4
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Grâce à $M^3$, on voit qu'il n'existe que deux chemins de longueur trois
|
||||
reliant $A$ à $E$~: $ABCE$ et $ABCE$.
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||||
|
||||
Il n'existe pas de chemin plus grand que 3, car on a une matrice nulle pour
|
||||
$M^4$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Calculer les puissances booléennes de $M$, soit $M^{\left[2\right]}$,
|
||||
$M^{\left[3\right]}$, $M^{\left[4\right]}$, \ldots}
|
||||
|
||||
\[
|
||||
M^{\left[2\right]}= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\qquad
|
||||
M^3= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Dans ce cas, on dit qu'il existe au moins un chemin de longueur deux reliant
|
||||
les points où l'intersection dans la matrice n'est pas nulle.\\
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||||
On a perdu l'information du nombre de chemin, on sait seulement si un chemin
|
||||
existe ou non.
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||||
\subsubsection{Calculer la fermeture réflexo-transitive du graphe.}
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||||
$$B=I\dot{+}M\dot{+}M^{\left[2\right]}\dot{+}\ldots$$
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||||
|
||||
\[
|
||||
I= \begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}\text{ la matrice identitée}
|
||||
\]
|
||||
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||||
\paragraph{En clair~:} $B$ correspond en fait à un OU logique appliqué à
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||||
l'ensemble des matrices.
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||||
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||||
\[
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||||
B= \begin{bmatrix}
|
||||
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
|
||||
0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Pour chacun des éléments non nuls de la matrice $B$, on peut dire qu'il existe
|
||||
au moin un chemin (de longueur indéterminée). La matrice $B$ permet donc de
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||||
savoir si deux sommets sont interconnectés dans le graphe.
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||||
|
||||
\subsubsection{Algorithme de Roy-Warshall.}
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||||
L'algorithme de Roy-Warshall permet de calculer $B$ sans calculer les produits
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matriciels.
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||||
\subsection{Étapes}
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\begin{itemize}
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||||
\item On calcul $B=I\dot{+}M$~;
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||||
\item On calcul l'image de $B$ par l'opérateur $\theta_1$, soit
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||||
$B=\theta_1(B)$~;
|
||||
\item On calcul l'image de $B$ par l'opérateur $\theta_2$~;
|
||||
\item Ainsi de suite, jusqu'à $\theta_n$.
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||||
\end{itemize}
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||||
|
||||
\subsection{Opérateur $\theta_i$}
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item On considère toutes les lignes de $B$ qui ont un 1 en colonne $i$~;
|
||||
\item On ajoute (addition booléenne $\dot{+}$) à chacune de ces lignes tous les 1 de la ligne $i$~;
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\[
|
||||
B=\theta_1(B)=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & \textbf{1} & 0 & 1 & 0\\
|
||||
0 & \textbf{1} & \textbf{1} & 0 & 0\\
|
||||
0 & \textbf{0} & 1 & 0 & 1\\
|
||||
0 & \textbf{0} & 1 & 1 & 1\\
|
||||
0 & \textbf{0} & 0 & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\xrightarrow{\theta_2}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 1 & \textbf{1} & 1 & 0\\
|
||||
0 & 1 & \textbf{1} & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{1}\\
|
||||
0 & 0 & \textbf{1} & 1 & 1\\
|
||||
0 & 0 & \textbf{0} & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\xrightarrow{\theta_3}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 1 & 1 & 1 & \textbf{1}\\
|
||||
0 & 1 & 1 & 0 & \textbf{1}\\
|
||||
0 & 0 & 1 & 0 & \textbf{1}\\
|
||||
0 & 0 & 1 & 1 & \textbf{1}\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 & \textbf{1}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\paragraph{Exercice 2 page 101}
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||||
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||||
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
||||
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
||||
\node[main node] (1) {A};
|
||||
\node[main node] (2) [right of=1] {B};
|
||||
\node[main node] (3) [below right of=2] {C};
|
||||
\node[main node] (4) [below left of=3] {D};
|
||||
\node[main node] (6) [below left of=1] {F};
|
||||
\node[main node] (5) [below right of=6] {E};
|
||||
|
||||
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
||||
(1) edge [bend right] node[right] {} (2)
|
||||
edge [bend right] node[left] {} (6)
|
||||
(2) edge [bend right] node[left] {} (1)
|
||||
edge [loop] node {} (2)
|
||||
edge [bend left] node[left] {} (3)
|
||||
(3) edge [bend right] node[left] {} (4)
|
||||
(4) edge [right] node [left] {} (2)
|
||||
edge [bend right] node[left] {} (3)
|
||||
edge [bend left] node[left] {} (5)
|
||||
(5) edge [loop] node [left] {} (5)
|
||||
edge [bend left] node[left] {} (6)
|
||||
(6) edge node [left] {} (3)
|
||||
edge [bend right] node[left] {} (1)
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Calculer les demi-degrés extérieurs et intérieurs des simmets du graphe}
|
||||
|
||||
$\Gamma^+(A),\Gamma^+(B),\ldots$~; $\Gamma^+(A)={B,F}$, $\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$, \ldots
|
||||
|
||||
$\Gamma^-(A),\Gamma^-(B),\ldots$~; $\Gamma^-(A)={B,F}$, $\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$, \ldots\\
|
||||
|
||||
$\Gamma^+$~: la liste des descendants immédiats de $i$ et $\Gamma^+$~: la liste
|
||||
des prédécesseurs immédiats de $i$.\\
|
||||
|
||||
\textbf{Le demi-degré intérieur} du sommet $i$ $\leftarrow d'(i)$~: le nombre
|
||||
de prédécesseurs immédiats de $i$, à l'exception de $i$ lui-même.
|
||||
|
||||
\textbf{Le demi-degré extérieur} du sommet $i$ $\leftarrow d''(i)$~: le nombre
|
||||
de successeyrs immédiats de $i$, à ;'exception de $i$ lui-même.\\
|
||||
|
||||
$\Gamma^+(A)={B,F}$~: $d''(A)=2$
|
||||
|
||||
$\Gamma^+(B)={A,B,C,E}$~: $d''(B)=3$
|
||||
|
||||
\subsubsection{Donner un exemple de chemin simple mais non élémentaire.}
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||||
|
||||
Un \textbf{chemin est simple} s'il ne passe qu'une fois par l'ensemble de ces
|
||||
arcs. Exemple~: $ABCDBE$.
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||||
|
||||
Un \textbf{chemin est élémentaire} s'il ne passe qu'une fois par l'ensemble de ces
|
||||
sommets.
|
||||
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||||
\subsubsection{Existe-il un circuit Hamiltonien dans ce graphe~?}
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||||
|
||||
Un \textbf{circuit} est un chemin qui se ferme sur lui-même.
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||||
|
||||
Un \textbf{circuit hamiltonien} est un circuit passant par tous les sommets du
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graphe.
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||||
\subparagraph{Problème du voyageur de commerce} Le voyageur de commerce visite
|
||||
une fois et une seul chaque ville, puis retourne à la ville de départ.
|
||||
|
||||
\section{Recherche de plus court chemin optimal}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=3cm,
|
||||
thick,main node/.style={circle,fill=blue!20,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
|
||||
\node[main node] (3) {C};
|
||||
\node[main node] (1) [below left of=3] {A};
|
||||
\node[main node] (2) [below right of=2] {B};
|
||||
\node[main node] (4) [below of=3] {D};
|
||||
\node[main node] (5) [right of=2] {E};
|
||||
|
||||
\path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
|
||||
(1) edge node[right] {4} (3)
|
||||
(2) edge node[left] {2} (5)
|
||||
edge [bend left] node[left] {2} (4)
|
||||
(3) edge [bend left] node[left] {3} (2)
|
||||
edge [bend right] node[left] {4} (4)
|
||||
(4) edge node [left] {8} (1)
|
||||
edge [bend right] node[left] {-6} (3)
|
||||
edge [bend right] node[left] {1} (5)
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\subsection{Méthode matricielle}
|
||||
|
||||
Pas de sommet source.
|
||||
|
||||
Cette méthode donne en une seule exécution le chamin le plus court ou le chemin
|
||||
le plus long entre deux sommets.
|
||||
|
||||
On cherche le chemin de valeur maximale reliant deux sommets.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Initialisation}
|
||||
On considère deux matrices $D_0$ et $\Pi_0$, de dimension $n\times n$, avec $n$
|
||||
le nombre de sommets (ici 5).
|
||||
|
||||
\[
|
||||
D_0=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
||||
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
||||
C & -\infty & 3 & -\infty & 4 & -\infty \cr
|
||||
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
||||
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
||||
\qquad
|
||||
\Pi_0=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
||||
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
||||
C & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \cr
|
||||
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
||||
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
$(D_0)_{i,j}=v_{i,j}=$ la valeur de l'arc $(i,j)$ si cet arc est présent =
|
||||
$-\infty$ sinon $(\Pi_{ij})=i$, $\forall j$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{À chaque étape $k\geq 1$}
|
||||
|
||||
On calcule ma matrice $D_k$ obtenue en replaçant $(D_{k-1})_{i,j}$ par
|
||||
$\max\lbrace(D_{k-1})_{i,j}, x\rbrace$, $x$ correspond à la somme du $k$-ième
|
||||
terme de la ligne et du $k$-ième terme de la colonne où se trouve
|
||||
$(D_k)_{i,j}$.
|
||||
|
||||
On itére pour $k=1,2,\ldots,n$. Ici $n=5\longmapsto$ on lit le résultat cherché
|
||||
par l'intermédiaire des matrices $(D_n, \Pi_n)$.
|
||||
|
||||
\[
|
||||
D_1=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
||||
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
||||
C & -\infty & 3 & -\infty & \textbf{4} & -\infty \cr
|
||||
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
||||
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
||||
\qquad
|
||||
\Pi_1=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
||||
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
||||
C & 3 & 3 & 3 & \textbf{3} & 3 \cr
|
||||
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
||||
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
||||
\]
|
||||
$\max\lbrace4,-\infty+8\rbrace$. La première colonne étant composée de
|
||||
$-\infty$, les deux matrices sont identiques. On a $D_0\equiv D_1$ et
|
||||
$\Pi_0\equiv \Pi_1$.
|
||||
|
||||
\[
|
||||
D_2=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & -\infty & -\infty & 4 & 8 & -\infty \cr
|
||||
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
||||
C & -\infty & 3 & -\infty & \textbf{5} & \textbf{5} \cr
|
||||
D & -\infty & -\infty & -6 & -\infty & 1 \cr
|
||||
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
||||
\qquad
|
||||
\Pi_2=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
|
||||
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
||||
C & 3 & 3 & 3 & \textbf{2} & \textbf{2} \cr
|
||||
D & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \cr
|
||||
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
|
||||
\]
|
||||
Dans $\Pi_2$~: $(\Pi_2)_{i,j}=(\Pi)_{2,j}$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
D_3=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & -\infty & \textbf{7} & 4 & \textbf{9} & \textbf{9} \cr
|
||||
B & -\infty & -\infty & -\infty & 2 & 2 \cr
|
||||
C & -\infty & 3 & -\infty & 5 & 5 \cr
|
||||
D & -\infty & \textbf{-3} & -6 & \textbf{-1} & 1 \cr
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||||
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
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||||
\qquad
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||||
\Pi_3=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
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||||
A & 1 & \textbf{3} & 1 & \textbf{2} & \textbf{2} \cr
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||||
B & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \cr
|
||||
C & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \cr
|
||||
D & 4 & \textbf{3} & 4 & \textbf{2} & 4 \cr
|
||||
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
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||||
\]
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||||
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||||
\[
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||||
D_4=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
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||||
A & -\infty & 7 & 4 & 9 & \textbf{10} \cr
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||||
B & -\infty & \textbf{-1} & \textbf{-4} & 2 & \textbf{3} \cr
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||||
C & -\infty & 3 & \textbf{-1} & 5 & \textbf{6} \cr
|
||||
D & -\infty & -3 & -6 & -1 & 1 \cr
|
||||
E & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty & -\infty \cr}
|
||||
\qquad
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||||
\Pi_4=\bordermatrix{~ & A & B & C & D & E \cr
|
||||
A & 1 & 3 & 1 & 2 & \textbf{4} \cr
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||||
B & 2 & \textbf{3} & \textbf{4} & 2 & \textbf{4} \cr
|
||||
C & 3 & 3 & \textbf{4} & 2 & \textbf{4} \cr
|
||||
D & 4 & 3 & 4 & 2 & 4 \cr
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||||
E & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \cr}
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||||
\]
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La dernière ligne étant composée de $=-\infty$, $D_5\equiv D_4$ et
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$\Pi_5\equiv\Pi_4$.
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\subsubsection{Lecture du résultat via $D_5$ et $\Pi_5$}
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On lit dans la case $(D_n)_{i,j}$ la valeur du chemin le plus long reliant $i$
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à $j$. Exemple~: le chemin le plus long allant de $A$ à $E$ est de longueur
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10.\\
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$(\Pi_n)_{i,j}$ est le prédécesseur immédiat de $j$, soit $j'$.
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$(\Pi_n)_{i,j'}$ est le prédécesseur immédiat de $j'$, soit $j''$, \ldots
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\paragraph{Remarque} Le même algorithme procure également les chemins les plus
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courts en appliquant deux changements~:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Initialisation~:} on initialise la matrice à $+\infty$ au lieu
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de $-\infty$.
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\item \textbf{À l'itération $k$~:} on remplace l'opération $\max$ par
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$\min$.
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\end{itemize}
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@ -0,0 +1,8 @@
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\title{Recherche opérationelle\\
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\large{Graphes -- Réseaux -- Flots}}
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\author{Patrick}
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\date{ING1}
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\maketitle
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\input{cours}
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Reference in New Issue