From a3aba51336ca97d55eb81a0fbe327e2dda9b7c4d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?N=C3=A9munaire?= Date: Mon, 6 Feb 2012 17:44:44 +0100 Subject: [PATCH] Cours d'aujourd'hui --- itil/1.tex | 6 + mathsignal/cours.tex | 313 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ trse/1.tex | 25 ++++ 3 files changed, 344 insertions(+) create mode 100644 itil/1.tex create mode 100644 mathsignal/cours.tex create mode 100644 trse/1.tex diff --git a/itil/1.tex b/itil/1.tex new file mode 100644 index 0000000..2f606fd --- /dev/null +++ b/itil/1.tex @@ -0,0 +1,6 @@ +\chapter{Introduction} + +Devoteam : Jean-Marc Chevereau + +En fait ITIL c'est une liste de recommandation pour gérer les services IT. Ce +n'est pas une norme diff --git a/mathsignal/cours.tex b/mathsignal/cours.tex new file mode 100644 index 0000000..44be267 --- /dev/null +++ b/mathsignal/cours.tex @@ -0,0 +1,313 @@ +\chapter{Mathématique du signal} + +\begin{tabular}{|c|c|c|}w + Domaine temporel & Domaine fréquentiel & Domaine temporel\\ + & traitements divers & \\ + $t$ & & \\ + $(k.T)$ & & +\end{tabular} + +\section{Signal continu} + +\subsection{Outils mathématiques} + +\subsubsection{Équations différentielles} + +Équation linéaires à coefficients constants. + +\begin{tabular}{c|c|c} + $u(t)$ & système & $y(t)$ +\end{tabular} + +\vspace{1.5em} + +$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=12t+20$$ + +Résoudre l'équation différentielle $\rightarrow y(t)$ + +\paragraph{Méthode classique en deux étapes} + +\begin{enumerate} + \item Solution générale de l'ESSM (l'éuation sans second membre)~: + $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=0$$ + Cherchons les solution de la forme $y(t)=e^{r.t}$.\\ + + \[ + \begin{cases} + \ddot{y}(t) & = r^2.e^{r.t} \\ + \dot{y}(t) & = r.e^{rt} + \end{cases} + \] + $$\Rightarrow \text{équation différentielle}$$ + $$(r^2+r-6).e^{r.t}=0$$ + $$r^2+r-6=0$$ + $$(r-2)(r+3)=0$$ + $$\Rightarrow r_1=2 et r_2=-3$$ + + Solution générale de l'ESSM~: + $$y(t)=A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$ + $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)=6y(t)=12t+20$$ + + $\Rightarrow$ résoudre l'équiation différentielle $\rightarrow y(t)$ ? + + \item \textbf{Solution particulière de l'équation EASM (équation avec second + membre)}\\ + On cherche les solutions particulière de la même forme que le deuxième + membre. + $$y(t)=a.t+b\qquad (a,b)?$$ + $$\dot{y}(t)=a\qquad\ddot{y}(t)=0$$ + $$a-6.a.t-6.b=12.t+20$$ + + \[ + \begin{cases} + a-6.b & = 20 \\ + -6.a & = 12 + \end{cases} + \Rightarrow a=-2 \Rightarrow + b=\frac{-11}{3} + \] + + $A$ et $B$ fixés par ($I$). + + \item La solution générale de l'EASM s'obtient en additionnant la solution + générale de l'ESSM et la solution particulière de l'EASM $\rightarrow$ + $$y(t)=A.e^{2.t}+B.e^{-3t}-2t-\frac{11}{3}$$ +\end{enumerate} + +\subsubsection{Produit de convolution} + +Soient deux signaux $x(t)$ et $y(t)$~: + +$$2(t)\times y(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(\tau).y(t-\tau)d\tau$$ + +On appel cette équation \emph{l'unité de convolution}. + +\paragraph{Produit classique~:} $1.x=x.1=x$ + +$$x(t)\times \delta(t)=x(t)$$ +$$\delta(t)\times x(t)=x(t)$$ + +$\delta(t)=$ «impulsion» de DIRAC + +SHÉMA ICI + +\subsubsection{Fonction complexe d'une variable complexe} + +$f(t)\mapsto F(p)$ avec $F$ un nombre complexe et $p$ un nombre complexe. + +\paragraph{Définition de la transformation complexe} + +$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$ + +$$X(p)=\int^{\infty}_{0}x(t).e^{-p.t}dt$$ + +$X(p)=$ nombre complexe +$p=$ nombre complexe $=\sigma+j.\omega$ où $\omega$ est la pulsion.\\ + +$\omega$ est lié à la fréquence $f$ par $\omega=2.\pi.f$ + +$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$ +$x(t)$ le domaine temporel et $X(p)$ le domaine fréquentiel. + +\paragraph{Propriétés~:} + +\begin{enumerate} + \item \textbf{Convergence~:} existance dans $X(p)$. + + $x(t)=$ signal réel (ou signal existant physiquement) $\rightarrow X(p)$ + existe. + \item \textbf{Linéarité~:} + $$\mathcal{L}[a.f(t)+b.g(t)]=a.F(p)+b.G(p)\qquad\forall a,b=\text{constantes}$$ + + \item \textbf{Théorèmes du retard~:} + $$\mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau.p}.F(p)\qquad\tau\text{ le retard}$$ + + \paragraph{Remarque~:} ICI SCHEMA 2 + + \item \textbf{Convergence~:} + + $$\mathcal{L}\left[x(t)\times y(t)=X(p).Y(p)\right]$$ + $\mathcal{L}[*]=\cdot$ très facile de faire un produit de convolution dans l'espace + de Laplace. + + \item \textbf{Dérivation/Intégration} + + $$\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}=p.X(p)-x(t=0)\right]$$ + Avec $x(t=0)$ la condition initiale. + + \underline{En automatique~:} on suppose que toutes les conditions initales + sont nulles. + + \textbf{Remarque~:} si une condition initiale n'est pas nulle, on considère + la nouvelle variable~: $x(t=0)\neq 0$ + + $$y(t)=x(t)-x(t=0)$$ + + $y(t=0)=0$ + On peut toujours se ramener à des variables avec des conditions initiales + nulles. + + $\Rightarrow_{CI nulles}$ La dérivation est une simple + \emph{multiplication} par $p$. + L'intégration est une simple \emph{division} par $p$. + + $\rightarrow$ C'est très facile de dériver et d integrer dans l'espace de + Laplace. + + \item \textbf{Théorème de la valeur initiale/Théorème de la valeur finale} + \[ + \begin{cases} + \lim_{t\rightarrow 0} f(t)=\lim_{p\rightarrow +\infty}[p.F(p)]\\ + \lim_{t\rightarrow +\infty} f(t)=\lim_{p\rightarrow 0}[p.F(p)] \text{<- + régime permannent en automtique} + \end{cases} + \] + + \paragraph{Remarque~:} régime permanent~: + SCHEMA 3 +\end{enumerate} + +\begin{figure} + \begin{tabular}{c|c} + $t$ & $p$ \\ + $\delta(t)$ & $1$ \\ + échelon de Heaviside & $\frac{1}{p}$ \\ + $k^{-a.t}.u(t)$ & $\frac{1}{p+a}$ avec $a$ réel ou complexe \\ + $t.u(t)$ & $\frac{1}{p^2}$ \\ + \end{tabular} + \caption{Tableau des transformation de Laplace usuelles} +\end{figure} + +\paragraph{Remarque~:} la multiplication par $u(t)$ rend le signal CAUSAL (nul, +$t\leq 0$). + +$$f(t)=sin(\omega.t).u(t)$$ + +SCHEMA 4 + +\subparagraph{Exercice~:} La définition de L sous forme d'intégrale est +rarement utilisée. On se sert des propriétés et des transofrmation de Laplce +usuelles. + +\subparagraph{Formule d'Euler~:} +$sin(\theta)=\frac{e^{j.\theta-j.\theta}}{2j}$, $j^2=-1$.\\ + + +$$\mathcal{L}[(sin(\omega.t)).u(t)]=\mathcal{L}[\frac{e^{j.\omega.t-j.\omega.t}}{2j}.u(t)]$$ +$$=\frac{1}{2j}[\mathcal{L}[e^{j.\omega.t}.u(t)]-\mathcal{L}[e^{-j.\omega.t}.u(t)]]\qquad +a=-j.\omega$$ +$$=\frac{1}{2j}[\frac{1}{p-j\omega}-\frac{1}{p+j\omega}]\qquad formule 3 du +tableau$$ +$$=\frac{1}{2j}[\frac{p+j\omega-p+j\omega}{p^2+\omega^2}]$$ +$$=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$$ + +\paragraph{Transformation de Laplace inverse} + +$$X(p)=\frac{2p^2+12p+6}{p(p+2)(p+3)}\longmapsto^\mathcal{L} ?$$ + +On décompose $X(p)$ en élément simples~: +$$X(p)=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+2}+\frac{C}{p+3}$$ + +\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis $p=0$} $1=A$ + +\subparagraph{Multiplication par $p+2$ des deux membres, puis $p=-2$} +$\frac{8-24+6}{-2(1)}=B=\frac{-10}{-2}=5$ + +\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$} +$\frac{18-36+6}{(-3)(-1)}=C=\frac{-12}{3}=-4$ + +$$X(p)=\frac{1}{p}+\frac{5}{p+2}-\frac{4}{p+3}$$ +$$x(t)=(1+5.e^{-2t}-4.e^{-3.t}).u(t)\qquad ligne 2 et 3 du tableau$$ + + +\paragraph{Résolution d'équation différentielle linéaire et à coefficients + constants} + +$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)-12t=12t+20$$ + +\subparagraph{Hypothèse~:} les conditions initiales sont nulles. + +$\Rightarrow$ pas de problème avec les dérivées. + +$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=(12t+20).u(t)\qquad\text{on suppose que le + deuxième membre n'existe que pour} t\geq0$$ +$$(p^2+p-6).Y(p)=\mathcal{L}\left[(12t+20).u(t)\right]=12.\mathcal{L}\left(t.u(t)\right)+20.\mathcal{L}\left(u(t)\right)$$ +$$(p^2+p-6).Y(p)=\frac{12}{p^2}+\frac{20}{p}\Rightarrow\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}$$ + +$$Y(p)=\frac{12+20p}{p^2(p^2+p-6)}\mapsto^{\mathcal{L}^{-1}}?$$ + +\subparagraph{On décompose $Y(p)$ en éléments simples~:} +$Y(p)=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{p+3}+\frac{D}{p-2}= +\frac{12+20p}{p^2(p+3)(p-2)}$ + +\subparagraph{Multiplication par $p^2$ des deux membres, puis $p=0$} $A=-2$ +\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$} +$C=\frac{-48}{-45}=\frac{16}{15}$ +\subparagraph{Multiplication par $p-2$ des deux membres, puis $p=2$} +$D=\frac{52}{20}=\frac{13}{5}$ +\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis +$p\rightarrow+\infty$} $B+C+D=0$\\ +$\Rightarrow B=\frac{-16}{15}-\frac{13}{5}=\frac{-55}{15}=\frac{-11}{3}$ + +$$Y(p)=\frac{-2}{p^2}-\frac{11}{3}\times\frac{1}{p}+\frac{16}{15}\times\frac{1}{p+3}+\frac{13}{5}\times\frac{1}{p-2}$$ +$$y(t)=-2t-\frac{11}{3}+A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$ + +\[ +\begin{cases} + y(0)=0\rightarrow -\frac{11}{3}+A+B=0\\ + \dot{y}(0)=0\qquad\dot{y}(t)=-2+2A.e^{2t}-3B.e^{-3t} +\end{cases} +\] + +\subparagraph{$\dot{y}(0)=0$} $-2+2A-3B=0\Rightarrow A=\frac{13}{5}$, +$B=\frac{16}{15}$ + +$$\frac{26}{5}-\frac{48}{15}=\frac{26}{5}-\frac{16}{5}=\frac{10}{5}=2$$ + +\paragraph{Application en électronique} + +SCHEMA 5 + +\begin{enumerate} + \item Calculer $\mathcal{L}\left[e(t)\right]=E(p)$.\\ + On s'intéresse à une seule période (entre $t=0$ et $t=20$). On calcule + $\mathcal{L}\left[h(t)\right]$, soit $H(p)$ (on décompose $h(t)$ sous la + forme de signaux élémentaire + propriétés de $\mathcal{L}$).\\ + On en déduit $\mathcal{L}\left[e(t)\right]$, soit $E(p)$. + \textbf{Ne pas utiliser la définition de $\mathcal{L}$.} +\end{enumerate} + +SCHEMA 6 + +$$H(p)=\frac{1}{10.p^2}\left(1-2.e^{-10.p+e^{-20.p}}\right)=\frac{(1-e^{-10.p})^2}{10.p^2}$$ + +$$e(t)=h(t)+h(t-20)+h(t-40)+...$$ +$$E(p)=H(p)+H(p).e^{-20.p}+H(p).e^{-40p}+...$$ +$$E(p)=H(p)\left[1+e^{-20p}+(e^{-20p})^2+(e^{-20p})^3+...\right]$$ +$$E(p)=\frac{(1-e^{-10p})^2}{10p^2}\times\frac{1}{1-e^{-20p}}$$ +$$1-e^{-20p}=(1-e^{-10p})(1+e^{-10p})$$ + +$$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$ + +\begin{figure} + SCHEMA 7 + \caption{Pont diviseur de tension} +\end{figure} + +\begin{enumerate} + \item 2. Exprimer la fonction de transdert du circuit électrique~: + $$\frac{V_S(p)}{E(p)}=\frac{R}{R_g+R+\frac{1}{C_p}}=\frac{R.C.P}{1+(R+R_g).C_p}$$ + $$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$ +\end{enumerate} + +SCHEMA 8 + +\begin{enumerate} + \item On calcul $X(p)=\mathcal{L}\left[x(t)\right]$ + \item On calcul $H(p)$ + \item On en déduit~: $Y(p)=X(p)\times H(p)$ +\end{enumerate} + +$$V_s(p)=E(p)/times H(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10^p^2.(1+e^{-10p})}\times\frac{RC.p}{1+(R+R_g).C_p}$$ + +\section{Signaux discrets (ou échantillionnés)} diff --git a/trse/1.tex b/trse/1.tex new file mode 100644 index 0000000..3e4e4b9 --- /dev/null +++ b/trse/1.tex @@ -0,0 +1,25 @@ +\chapter{Les télécoms avec la révolution numérique} + +\section{Historique} + +\paragraph{1G} moins d'un million d'abonnés +\paragraph{2G} GSM, jusqu'en 2022 +\paragraph{3G} < 40\% aujourd'hui\\ +Orange a commencé à gagner de l'argent à partir de 2000, SFR en 2001 et +Bouygues en 2007. + +\paragraph{Aujourd'hui} 75\% de datas et 25\% de voie => on appel de moins en +moins et on utilise de plus en plus de datas qui est moins rentable. + +Différence de service entre les constructeurs et les éditeurs (HTC vs +Google/Apple). +Les constructeurs lancent des produits tout buggé et balancent des FOTA après, +ou pas. +Google et Apple eux ils recherchent les nouveautés. Lorsqu'il y a des bugs, ils +propagent les corrections par un canal différent. + +\section{Avant} + +Avec les nouvelles technologies, on a gagné en productivité. +Personne n'est capable d'avoir une vision du futur. +