Cours d'aujourd'hui
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\chapter{Introduction}
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Devoteam : Jean-Marc Chevereau
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En fait ITIL c'est une liste de recommandation pour gérer les services IT. Ce
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n'est pas une norme
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\chapter{Mathématique du signal}
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\begin{tabular}{|c|c|c|}w
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Domaine temporel & Domaine fréquentiel & Domaine temporel\\
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& traitements divers & \\
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$t$ & & \\
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$(k.T)$ & &
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\end{tabular}
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\section{Signal continu}
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\subsection{Outils mathématiques}
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\subsubsection{Équations différentielles}
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Équation linéaires à coefficients constants.
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\begin{tabular}{c|c|c}
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$u(t)$ & système & $y(t)$
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\end{tabular}
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\vspace{1.5em}
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$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=12t+20$$
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Résoudre l'équation différentielle $\rightarrow y(t)$
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\paragraph{Méthode classique en deux étapes}
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\begin{enumerate}
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\item Solution générale de l'ESSM (l'éuation sans second membre)~:
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$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=0$$
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Cherchons les solution de la forme $y(t)=e^{r.t}$.\\
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\[
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\begin{cases}
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\ddot{y}(t) & = r^2.e^{r.t} \\
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\dot{y}(t) & = r.e^{rt}
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\end{cases}
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\]
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$$\Rightarrow \text{équation différentielle}$$
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$$(r^2+r-6).e^{r.t}=0$$
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$$r^2+r-6=0$$
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$$(r-2)(r+3)=0$$
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$$\Rightarrow r_1=2 et r_2=-3$$
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Solution générale de l'ESSM~:
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$$y(t)=A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$
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$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)=6y(t)=12t+20$$
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$\Rightarrow$ résoudre l'équiation différentielle $\rightarrow y(t)$ ?
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\item \textbf{Solution particulière de l'équation EASM (équation avec second
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membre)}\\
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On cherche les solutions particulière de la même forme que le deuxième
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membre.
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$$y(t)=a.t+b\qquad (a,b)?$$
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$$\dot{y}(t)=a\qquad\ddot{y}(t)=0$$
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$$a-6.a.t-6.b=12.t+20$$
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\[
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\begin{cases}
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a-6.b & = 20 \\
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-6.a & = 12
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\end{cases}
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\Rightarrow a=-2 \Rightarrow
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b=\frac{-11}{3}
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\]
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$A$ et $B$ fixés par ($I$).
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\item La solution générale de l'EASM s'obtient en additionnant la solution
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générale de l'ESSM et la solution particulière de l'EASM $\rightarrow$
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$$y(t)=A.e^{2.t}+B.e^{-3t}-2t-\frac{11}{3}$$
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Produit de convolution}
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Soient deux signaux $x(t)$ et $y(t)$~:
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$$2(t)\times y(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(\tau).y(t-\tau)d\tau$$
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On appel cette équation \emph{l'unité de convolution}.
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\paragraph{Produit classique~:} $1.x=x.1=x$
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$$x(t)\times \delta(t)=x(t)$$
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$$\delta(t)\times x(t)=x(t)$$
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$\delta(t)=$ «impulsion» de DIRAC
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SHÉMA ICI
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\subsubsection{Fonction complexe d'une variable complexe}
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$f(t)\mapsto F(p)$ avec $F$ un nombre complexe et $p$ un nombre complexe.
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\paragraph{Définition de la transformation complexe}
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$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$
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$$X(p)=\int^{\infty}_{0}x(t).e^{-p.t}dt$$
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$X(p)=$ nombre complexe
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$p=$ nombre complexe $=\sigma+j.\omega$ où $\omega$ est la pulsion.\\
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$\omega$ est lié à la fréquence $f$ par $\omega=2.\pi.f$
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$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$
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$x(t)$ le domaine temporel et $X(p)$ le domaine fréquentiel.
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\paragraph{Propriétés~:}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Convergence~:} existance dans $X(p)$.
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$x(t)=$ signal réel (ou signal existant physiquement) $\rightarrow X(p)$
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existe.
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\item \textbf{Linéarité~:}
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$$\mathcal{L}[a.f(t)+b.g(t)]=a.F(p)+b.G(p)\qquad\forall a,b=\text{constantes}$$
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\item \textbf{Théorèmes du retard~:}
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$$\mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau.p}.F(p)\qquad\tau\text{ le retard}$$
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\paragraph{Remarque~:} ICI SCHEMA 2
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\item \textbf{Convergence~:}
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$$\mathcal{L}\left[x(t)\times y(t)=X(p).Y(p)\right]$$
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$\mathcal{L}[*]=\cdot$ très facile de faire un produit de convolution dans l'espace
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de Laplace.
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\item \textbf{Dérivation/Intégration}
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$$\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}=p.X(p)-x(t=0)\right]$$
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Avec $x(t=0)$ la condition initiale.
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\underline{En automatique~:} on suppose que toutes les conditions initales
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sont nulles.
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\textbf{Remarque~:} si une condition initiale n'est pas nulle, on considère
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la nouvelle variable~: $x(t=0)\neq 0$
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$$y(t)=x(t)-x(t=0)$$
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$y(t=0)=0$
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On peut toujours se ramener à des variables avec des conditions initiales
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nulles.
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$\Rightarrow_{CI nulles}$ La dérivation est une simple
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\emph{multiplication} par $p$.
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L'intégration est une simple \emph{division} par $p$.
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$\rightarrow$ C'est très facile de dériver et d integrer dans l'espace de
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Laplace.
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\item \textbf{Théorème de la valeur initiale/Théorème de la valeur finale}
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\[
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\begin{cases}
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\lim_{t\rightarrow 0} f(t)=\lim_{p\rightarrow +\infty}[p.F(p)]\\
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\lim_{t\rightarrow +\infty} f(t)=\lim_{p\rightarrow 0}[p.F(p)] \text{<-
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régime permannent en automtique}
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\end{cases}
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\]
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\paragraph{Remarque~:} régime permanent~:
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SCHEMA 3
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\end{enumerate}
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\begin{figure}
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\begin{tabular}{c|c}
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$t$ & $p$ \\
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$\delta(t)$ & $1$ \\
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échelon de Heaviside & $\frac{1}{p}$ \\
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$k^{-a.t}.u(t)$ & $\frac{1}{p+a}$ avec $a$ réel ou complexe \\
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$t.u(t)$ & $\frac{1}{p^2}$ \\
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\end{tabular}
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\caption{Tableau des transformation de Laplace usuelles}
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\end{figure}
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\paragraph{Remarque~:} la multiplication par $u(t)$ rend le signal CAUSAL (nul,
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$t\leq 0$).
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$$f(t)=sin(\omega.t).u(t)$$
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SCHEMA 4
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\subparagraph{Exercice~:} La définition de L sous forme d'intégrale est
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rarement utilisée. On se sert des propriétés et des transofrmation de Laplce
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usuelles.
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\subparagraph{Formule d'Euler~:}
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$sin(\theta)=\frac{e^{j.\theta-j.\theta}}{2j}$, $j^2=-1$.\\
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$$\mathcal{L}[(sin(\omega.t)).u(t)]=\mathcal{L}[\frac{e^{j.\omega.t-j.\omega.t}}{2j}.u(t)]$$
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$$=\frac{1}{2j}[\mathcal{L}[e^{j.\omega.t}.u(t)]-\mathcal{L}[e^{-j.\omega.t}.u(t)]]\qquad
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a=-j.\omega$$
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$$=\frac{1}{2j}[\frac{1}{p-j\omega}-\frac{1}{p+j\omega}]\qquad formule 3 du
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tableau$$
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$$=\frac{1}{2j}[\frac{p+j\omega-p+j\omega}{p^2+\omega^2}]$$
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$$=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$$
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\paragraph{Transformation de Laplace inverse}
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$$X(p)=\frac{2p^2+12p+6}{p(p+2)(p+3)}\longmapsto^\mathcal{L} ?$$
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On décompose $X(p)$ en élément simples~:
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$$X(p)=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+2}+\frac{C}{p+3}$$
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\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis $p=0$} $1=A$
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\subparagraph{Multiplication par $p+2$ des deux membres, puis $p=-2$}
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$\frac{8-24+6}{-2(1)}=B=\frac{-10}{-2}=5$
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\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$}
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$\frac{18-36+6}{(-3)(-1)}=C=\frac{-12}{3}=-4$
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$$X(p)=\frac{1}{p}+\frac{5}{p+2}-\frac{4}{p+3}$$
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$$x(t)=(1+5.e^{-2t}-4.e^{-3.t}).u(t)\qquad ligne 2 et 3 du tableau$$
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\paragraph{Résolution d'équation différentielle linéaire et à coefficients
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constants}
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$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)-12t=12t+20$$
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\subparagraph{Hypothèse~:} les conditions initiales sont nulles.
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$\Rightarrow$ pas de problème avec les dérivées.
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$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=(12t+20).u(t)\qquad\text{on suppose que le
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deuxième membre n'existe que pour} t\geq0$$
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$$(p^2+p-6).Y(p)=\mathcal{L}\left[(12t+20).u(t)\right]=12.\mathcal{L}\left(t.u(t)\right)+20.\mathcal{L}\left(u(t)\right)$$
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$$(p^2+p-6).Y(p)=\frac{12}{p^2}+\frac{20}{p}\Rightarrow\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}$$
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$$Y(p)=\frac{12+20p}{p^2(p^2+p-6)}\mapsto^{\mathcal{L}^{-1}}?$$
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\subparagraph{On décompose $Y(p)$ en éléments simples~:}
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$Y(p)=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{p+3}+\frac{D}{p-2}=
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\frac{12+20p}{p^2(p+3)(p-2)}$
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\subparagraph{Multiplication par $p^2$ des deux membres, puis $p=0$} $A=-2$
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\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$}
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$C=\frac{-48}{-45}=\frac{16}{15}$
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\subparagraph{Multiplication par $p-2$ des deux membres, puis $p=2$}
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$D=\frac{52}{20}=\frac{13}{5}$
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\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis
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$p\rightarrow+\infty$} $B+C+D=0$\\
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$\Rightarrow B=\frac{-16}{15}-\frac{13}{5}=\frac{-55}{15}=\frac{-11}{3}$
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$$Y(p)=\frac{-2}{p^2}-\frac{11}{3}\times\frac{1}{p}+\frac{16}{15}\times\frac{1}{p+3}+\frac{13}{5}\times\frac{1}{p-2}$$
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$$y(t)=-2t-\frac{11}{3}+A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$
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\[
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\begin{cases}
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y(0)=0\rightarrow -\frac{11}{3}+A+B=0\\
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\dot{y}(0)=0\qquad\dot{y}(t)=-2+2A.e^{2t}-3B.e^{-3t}
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\end{cases}
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\]
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\subparagraph{$\dot{y}(0)=0$} $-2+2A-3B=0\Rightarrow A=\frac{13}{5}$,
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$B=\frac{16}{15}$
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$$\frac{26}{5}-\frac{48}{15}=\frac{26}{5}-\frac{16}{5}=\frac{10}{5}=2$$
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\paragraph{Application en électronique}
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SCHEMA 5
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $\mathcal{L}\left[e(t)\right]=E(p)$.\\
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On s'intéresse à une seule période (entre $t=0$ et $t=20$). On calcule
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$\mathcal{L}\left[h(t)\right]$, soit $H(p)$ (on décompose $h(t)$ sous la
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forme de signaux élémentaire + propriétés de $\mathcal{L}$).\\
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||||
On en déduit $\mathcal{L}\left[e(t)\right]$, soit $E(p)$.
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\textbf{Ne pas utiliser la définition de $\mathcal{L}$.}
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\end{enumerate}
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SCHEMA 6
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$$H(p)=\frac{1}{10.p^2}\left(1-2.e^{-10.p+e^{-20.p}}\right)=\frac{(1-e^{-10.p})^2}{10.p^2}$$
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$$e(t)=h(t)+h(t-20)+h(t-40)+...$$
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$$E(p)=H(p)+H(p).e^{-20.p}+H(p).e^{-40p}+...$$
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||||
$$E(p)=H(p)\left[1+e^{-20p}+(e^{-20p})^2+(e^{-20p})^3+...\right]$$
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||||
$$E(p)=\frac{(1-e^{-10p})^2}{10p^2}\times\frac{1}{1-e^{-20p}}$$
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||||
$$1-e^{-20p}=(1-e^{-10p})(1+e^{-10p})$$
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||||
$$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$
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\begin{figure}
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SCHEMA 7
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\caption{Pont diviseur de tension}
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\end{figure}
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\begin{enumerate}
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\item 2. Exprimer la fonction de transdert du circuit électrique~:
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$$\frac{V_S(p)}{E(p)}=\frac{R}{R_g+R+\frac{1}{C_p}}=\frac{R.C.P}{1+(R+R_g).C_p}$$
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||||
$$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$
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||||
\end{enumerate}
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SCHEMA 8
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\begin{enumerate}
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\item On calcul $X(p)=\mathcal{L}\left[x(t)\right]$
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\item On calcul $H(p)$
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||||
\item On en déduit~: $Y(p)=X(p)\times H(p)$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
$$V_s(p)=E(p)/times H(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10^p^2.(1+e^{-10p})}\times\frac{RC.p}{1+(R+R_g).C_p}$$
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||||
\section{Signaux discrets (ou échantillionnés)}
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@ -0,0 +1,25 @@
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\chapter{Les télécoms avec la révolution numérique}
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||||
\section{Historique}
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\paragraph{1G} moins d'un million d'abonnés
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\paragraph{2G} GSM, jusqu'en 2022
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\paragraph{3G} < 40\% aujourd'hui\\
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||||
Orange a commencé à gagner de l'argent à partir de 2000, SFR en 2001 et
|
||||
Bouygues en 2007.
|
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||||
\paragraph{Aujourd'hui} 75\% de datas et 25\% de voie => on appel de moins en
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||||
moins et on utilise de plus en plus de datas qui est moins rentable.
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Différence de service entre les constructeurs et les éditeurs (HTC vs
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Google/Apple).
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Les constructeurs lancent des produits tout buggé et balancent des FOTA après,
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ou pas.
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||||
Google et Apple eux ils recherchent les nouveautés. Lorsqu'il y a des bugs, ils
|
||||
propagent les corrections par un canal différent.
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||||
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||||
\section{Avant}
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||||
Avec les nouvelles technologies, on a gagné en productivité.
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||||
Personne n'est capable d'avoir une vision du futur.
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Reference in New Issue