\chapter{Mathématique du signal}

\begin{tabular}{|c|c|c|}w
  Domaine temporel & Domaine fréquentiel & Domaine temporel\\
  & traitements divers & \\
  $t$ & & \\
  $(k.T)$ & &
\end{tabular}

\section{Signal continu}

\subsection{Outils mathématiques}

\subsubsection{Équations différentielles}

Équation linéaires à coefficients constants.

\begin{tabular}{c|c|c}
  $u(t)$ & système & $y(t)$
\end{tabular}

\vspace{1.5em}

$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=12t+20$$

Résoudre l'équation différentielle $\rightarrow y(t)$

\paragraph{Méthode classique en deux étapes}

\begin{enumerate}
  \item Solution générale de l'ESSM (l'éuation sans second membre)~:
    $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=0$$
    Cherchons les solution de la forme $y(t)=e^{r.t}$.\\

    \[
    \begin{cases}
      \ddot{y}(t) & = r^2.e^{r.t} \\
      \dot{y}(t)  & = r.e^{rt}
    \end{cases}
    \]
    $$\Rightarrow \text{équation différentielle}$$
    $$(r^2+r-6).e^{r.t}=0$$
    $$r^2+r-6=0$$
    $$(r-2)(r+3)=0$$
    $$\Rightarrow r_1=2 et r_2=-3$$

    Solution générale de l'ESSM~:
    $$y(t)=A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$
    $$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)=6y(t)=12t+20$$

    $\Rightarrow$ résoudre l'équiation différentielle $\rightarrow y(t)$ ?

  \item \textbf{Solution particulière de l'équation EASM (équation avec second
      membre)}\\
    On cherche les solutions particulière de la même forme que le deuxième
    membre.
    $$y(t)=a.t+b\qquad (a,b)?$$
    $$\dot{y}(t)=a\qquad\ddot{y}(t)=0$$
    $$a-6.a.t-6.b=12.t+20$$

    \[
    \begin{cases}
      a-6.b & = 20 \\
      -6.a & = 12
    \end{cases}
    \Rightarrow a=-2 \Rightarrow
    b=\frac{-11}{3}
    \]

    $A$ et $B$ fixés par ($I$).

  \item La solution générale de l'EASM s'obtient en additionnant la solution
    générale de l'ESSM et la solution particulière de l'EASM $\rightarrow$
    $$y(t)=A.e^{2.t}+B.e^{-3t}-2t-\frac{11}{3}$$
\end{enumerate}

\subsubsection{Produit de convolution}

Soient deux signaux $x(t)$ et $y(t)$~:

$$2(t)\times y(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(\tau).y(t-\tau)d\tau$$

On appel cette équation \emph{l'unité de convolution}.

\paragraph{Produit classique~:} $1.x=x.1=x$

$$x(t)\times \delta(t)=x(t)$$
$$\delta(t)\times x(t)=x(t)$$

$\delta(t)=$ «impulsion» de DIRAC

SHÉMA ICI

\subsubsection{Fonction complexe d'une variable complexe}

$f(t)\mapsto F(p)$ avec $F$ un nombre complexe et $p$ un nombre complexe.

\paragraph{Définition de la transformation complexe}

$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$

$$X(p)=\int^{\infty}_{0}x(t).e^{-p.t}dt$$

$X(p)=$ nombre complexe
$p=$ nombre complexe $=\sigma+j.\omega$ où $\omega$ est la pulsion.\\

$\omega$ est lié à la fréquence $f$ par $\omega=2.\pi.f$

$$x(t)\mapsto^\mathcal{L} X(p)$$
$x(t)$ le domaine temporel et $X(p)$ le domaine fréquentiel.

\paragraph{Propriétés~:}

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Convergence~:} existance dans $X(p)$.

    $x(t)=$ signal réel (ou signal existant physiquement) $\rightarrow X(p)$
    existe.
  \item \textbf{Linéarité~:}
    $$\mathcal{L}[a.f(t)+b.g(t)]=a.F(p)+b.G(p)\qquad\forall a,b=\text{constantes}$$

  \item \textbf{Théorèmes du retard~:}
    $$\mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau.p}.F(p)\qquad\tau\text{ le retard}$$

    \paragraph{Remarque~:} ICI SCHEMA 2

  \item \textbf{Convergence~:}

    $$\mathcal{L}\left[x(t)\times y(t)=X(p).Y(p)\right]$$
    $\mathcal{L}[*]=\cdot$ très facile de faire un produit de convolution dans l'espace
    de Laplace.

  \item \textbf{Dérivation/Intégration}

    $$\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}=p.X(p)-x(t=0)\right]$$
    Avec $x(t=0)$ la condition initiale.

    \underline{En automatique~:} on suppose que toutes les conditions initales
    sont nulles.

    \textbf{Remarque~:} si une condition initiale n'est pas nulle, on considère
    la nouvelle variable~: $x(t=0)\neq 0$

    $$y(t)=x(t)-x(t=0)$$

    $y(t=0)=0$
    On peut toujours se ramener à des variables avec des conditions initiales
    nulles.

    $\Rightarrow_{CI nulles}$ La dérivation est une simple
    \emph{multiplication} par $p$.
    L'intégration est une simple \emph{division} par $p$.

    $\rightarrow$ C'est très facile de dériver et d integrer dans l'espace de
    Laplace.

  \item \textbf{Théorème de la valeur initiale/Théorème de la valeur finale}
    \[
    \begin{cases}
      \lim_{t\rightarrow 0} f(t)=\lim_{p\rightarrow +\infty}[p.F(p)]\\
      \lim_{t\rightarrow +\infty} f(t)=\lim_{p\rightarrow 0}[p.F(p)] \text{<-
        régime permannent en automtique}
    \end{cases}
    \]

    \paragraph{Remarque~:} régime permanent~:
    SCHEMA 3
\end{enumerate}

\begin{figure}
  \begin{tabular}{c|c}
    $t$ & $p$ \\
    $\delta(t)$ & $1$ \\
    échelon de Heaviside & $\frac{1}{p}$ \\
    $k^{-a.t}.u(t)$ & $\frac{1}{p+a}$ avec $a$ réel ou complexe \\
    $t.u(t)$ & $\frac{1}{p^2}$ \\
  \end{tabular}
  \caption{Tableau des transformation de Laplace usuelles}
\end{figure}

\paragraph{Remarque~:} la multiplication par $u(t)$ rend le signal CAUSAL (nul,
$t\leq 0$).

$$f(t)=sin(\omega.t).u(t)$$

SCHEMA 4

\subparagraph{Exercice~:} La définition de L sous forme d'intégrale est
rarement utilisée. On se sert des propriétés et des transofrmation de Laplce
usuelles.

\subparagraph{Formule d'Euler~:}
$sin(\theta)=\frac{e^{j.\theta-j.\theta}}{2j}$, $j^2=-1$.\\


$$\mathcal{L}[(sin(\omega.t)).u(t)]=\mathcal{L}[\frac{e^{j.\omega.t-j.\omega.t}}{2j}.u(t)]$$
$$=\frac{1}{2j}[\mathcal{L}[e^{j.\omega.t}.u(t)]-\mathcal{L}[e^{-j.\omega.t}.u(t)]]\qquad
a=-j.\omega$$
$$=\frac{1}{2j}[\frac{1}{p-j\omega}-\frac{1}{p+j\omega}]\qquad formule 3 du
tableau$$
$$=\frac{1}{2j}[\frac{p+j\omega-p+j\omega}{p^2+\omega^2}]$$
$$=\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$$

\paragraph{Transformation de Laplace inverse}

$$X(p)=\frac{2p^2+12p+6}{p(p+2)(p+3)}\longmapsto^\mathcal{L} ?$$

On décompose $X(p)$ en élément simples~:
$$X(p)=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+2}+\frac{C}{p+3}$$

\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis $p=0$} $1=A$

\subparagraph{Multiplication par $p+2$ des deux membres, puis $p=-2$}
$\frac{8-24+6}{-2(1)}=B=\frac{-10}{-2}=5$

\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$}
$\frac{18-36+6}{(-3)(-1)}=C=\frac{-12}{3}=-4$

$$X(p)=\frac{1}{p}+\frac{5}{p+2}-\frac{4}{p+3}$$
$$x(t)=(1+5.e^{-2t}-4.e^{-3.t}).u(t)\qquad ligne 2 et 3 du tableau$$


\paragraph{Résolution d'équation différentielle linéaire et à coefficients
  constants}

$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)-12t=12t+20$$

\subparagraph{Hypothèse~:} les conditions initiales sont nulles.

$\Rightarrow$ pas de problème avec les dérivées.

$$\ddot{y}(t)+\dot{y}(t)-6y(t)=(12t+20).u(t)\qquad\text{on suppose que le
  deuxième membre n'existe que pour} t\geq0$$
$$(p^2+p-6).Y(p)=\mathcal{L}\left[(12t+20).u(t)\right]=12.\mathcal{L}\left(t.u(t)\right)+20.\mathcal{L}\left(u(t)\right)$$
$$(p^2+p-6).Y(p)=\frac{12}{p^2}+\frac{20}{p}\Rightarrow\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}$$

$$Y(p)=\frac{12+20p}{p^2(p^2+p-6)}\mapsto^{\mathcal{L}^{-1}}?$$

\subparagraph{On décompose $Y(p)$ en éléments simples~:}
$Y(p)=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{p+3}+\frac{D}{p-2}=
\frac{12+20p}{p^2(p+3)(p-2)}$

\subparagraph{Multiplication par $p^2$ des deux membres, puis $p=0$} $A=-2$
\subparagraph{Multiplication par $p+3$ des deux membres, puis $p=-3$}
$C=\frac{-48}{-45}=\frac{16}{15}$
\subparagraph{Multiplication par $p-2$ des deux membres, puis $p=2$}
$D=\frac{52}{20}=\frac{13}{5}$
\subparagraph{Multiplication par $p$ des deux membres, puis
$p\rightarrow+\infty$} $B+C+D=0$\\
$\Rightarrow B=\frac{-16}{15}-\frac{13}{5}=\frac{-55}{15}=\frac{-11}{3}$

$$Y(p)=\frac{-2}{p^2}-\frac{11}{3}\times\frac{1}{p}+\frac{16}{15}\times\frac{1}{p+3}+\frac{13}{5}\times\frac{1}{p-2}$$
$$y(t)=-2t-\frac{11}{3}+A.e^{2t}+B.e^{-3t}$$

\[
\begin{cases}
  y(0)=0\rightarrow -\frac{11}{3}+A+B=0\\
  \dot{y}(0)=0\qquad\dot{y}(t)=-2+2A.e^{2t}-3B.e^{-3t}
\end{cases}
\]

\subparagraph{$\dot{y}(0)=0$} $-2+2A-3B=0\Rightarrow A=\frac{13}{5}$,
$B=\frac{16}{15}$

$$\frac{26}{5}-\frac{48}{15}=\frac{26}{5}-\frac{16}{5}=\frac{10}{5}=2$$

\paragraph{Application en électronique}

SCHEMA 5

\begin{enumerate}
  \item Calculer $\mathcal{L}\left[e(t)\right]=E(p)$.\\
    On s'intéresse à une seule période (entre $t=0$ et $t=20$). On calcule
    $\mathcal{L}\left[h(t)\right]$, soit $H(p)$ (on décompose $h(t)$ sous la
    forme de signaux élémentaire + propriétés de $\mathcal{L}$).\\
    On en déduit $\mathcal{L}\left[e(t)\right]$, soit $E(p)$.
    \textbf{Ne pas utiliser la définition de $\mathcal{L}$.}
\end{enumerate}

SCHEMA 6

$$H(p)=\frac{1}{10.p^2}\left(1-2.e^{-10.p+e^{-20.p}}\right)=\frac{(1-e^{-10.p})^2}{10.p^2}$$

$$e(t)=h(t)+h(t-20)+h(t-40)+...$$
$$E(p)=H(p)+H(p).e^{-20.p}+H(p).e^{-40p}+...$$
$$E(p)=H(p)\left[1+e^{-20p}+(e^{-20p})^2+(e^{-20p})^3+...\right]$$
$$E(p)=\frac{(1-e^{-10p})^2}{10p^2}\times\frac{1}{1-e^{-20p}}$$
$$1-e^{-20p}=(1-e^{-10p})(1+e^{-10p})$$

$$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$

\begin{figure}
  SCHEMA 7
  \caption{Pont diviseur de tension}
\end{figure}

\begin{enumerate}
  \item 2. Exprimer la fonction de transdert du circuit électrique~:
    $$\frac{V_S(p)}{E(p)}=\frac{R}{R_g+R+\frac{1}{C_p}}=\frac{R.C.P}{1+(R+R_g).C_p}$$
    $$E(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10.p^2.(1+e^{-10p})}$$
\end{enumerate}

SCHEMA 8

\begin{enumerate}
  \item On calcul $X(p)=\mathcal{L}\left[x(t)\right]$
  \item On calcul $H(p)$
  \item On en déduit~: $Y(p)=X(p)\times H(p)$
\end{enumerate}

$$V_s(p)=E(p)/times H(p)=\frac{1-e^{-10p}}{10^p^2.(1+e^{-10p})}\times\frac{RC.p}{1+(R+R_g).C_p}$$

\section{Signaux discrets (ou échantillionnés)}
