\chapter{Approximations}

\section{Introduction}

Le but de ce chapitre est de donner les premières notions de la théorie de
l'approximation permettant d'aborder la résolution de problèmes tels que :
\begin{itemize}
  \item soit $f(x)$ continue sur $[a;b]$, déterminer dans l'espace des polynôme
    de degré $n$ celui rend~: $|f(x)-P_n(x)|$ le plus petit possible~;
  \item déterminer les coefficients $a_k$ qui minimisent la valeur $\int^b_a
    (f(x).\sum^{n^2}_{k=0}a_k.\varphi_k)^2.\omega(x)dx$ où $\omega(x)$ est le
    poid.
  \item Soit $f$ continue et $(n+1)$ points $X_0, X_1, ..., X_n$~:\\
    $\exists? P_n(x)/P_n(X_i)=f(X_i)\quad\forall i=0..n$\\
    $P_n(x)$ est le polynôme d'interpolation de $f(x)$.
\end{itemize}

\section{Approximation dans un espace métrique} % 1.1 pour le prof !!!

$(E,d)$ est un espace métrique~: il existe une distance $d$~:
$$d:E_x E\longmapsto\mathbb{R}_{+}$$
$$(f,\Phi)\longmapsto d(f,\Phi)$$

\begin{enumerate}[(i)]
  \item $d(f,\Phi)=0\Rightarrow f=\Phi$
  \item $d(f,\Phi)=d(\Phi,f)$
  \item $d(f,\Phi)\leq d(f,\psi)+d(\psi,\Phi)\quad\forall f,\Phi,\psi\in E$
\end{enumerate}

\paragraph{Problème} Soit $(E,d)$ un espace métrique~: $F\subset E$ (sous
espace-vectoriel de $E$).

Déterminer $\Phi^{*}\in F/d(f,\Phi^{*})=Min d(f,\Phi)\qquad\Phi\in F$. S'il
existe, cet élément $\Phi^{*}$ sera appelé meilleur approximation (ou  sens de
la distance $d$) de $f\in E$.

\paragraph{Définition} $E$ est un espace vectoriel normé s'il existe une norme
$||f(f)||$, $\forall f\in E$.\\
$d(f,\Phi)=||f-\Phi||$ distance sur $E$.

On suppose que $dim(E)<+\infty$

$$||f-\Phi^*||=Min(||f-\Phi||)\qquad\Phi\in F$$

\section{Approximation uniforme}

Soit $E=\mathcal{C}([a,b]\in\mathbb{R})={f\text{~continue~}
  [a,b]\rightarrow\mathbb{R}}$.\\
$E$ est normée $||f||=Max|f(x)|\quad a\leq x\leq b$

$$d(f,\Phi)=||f-\Phi||=Max|f(x)-\Phi(x)|$$

Soit $\mathbb{C}_n$ un sous espace vectoriel de $E$, de dimension $n$.\\
La meilleur approximation uniforme $\Phi^{*}\in\mathcal{E}_n$ de $f\in E$ est
donc la fonction définie par~:

$$f-\Phi^{*}=Min(Max|f(x)-\Phi(x)|)\qquad\Phi\in\mathcal{E}_n$$

Soit ${\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n}$ une vase de $\mathcal{E}_n$~:

$$\Phi^{*}=\sum^n_{i=1}a_i^{*}.\varphi_i$$

$$||f-\Phi^*||=Min(Max|f(x)-\Phi(x)|)\qquad\Phi\in\mathcal{E}, a\leq x\leq b$$

\subsection{Polynôme de Chibyshev}

Les polynômes sont définis pour~:

%$${^{T_{n+1}(x)=2x.T(x)-T_{n-1}(x)}_{T(x)=1, T_1(x)=x}$$

$$T_2=2X.T_1(x)-T(x)=2x^2-1$$

$$T_3=2x.T_2(x)-T_1(x)=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x$$

$$T_4(x)=8^4-8x^2+1$$

\paragraph{Propriétés}

\begin{enumerate}[(i)]
  \item $T_n(x)=cos(n.\theta)\qquad -1\leq x\leq 1$ où
    $x=cos(\theta)\Leftrightarrow\theta=cos(x)\qquad 0\leq\theta\leq\pi$
  \item Le coefficient dominant de $T_n(x)$ est $a_n=2^{n-1}$,
    $T_n(x)=2^{n-1}.X^n...$
  \item ${T_0,T_1,T_2,...,T_n}$ est un ensemble de polynômes orthogonaux sur
    $[-1,1]$ relativement à la fonction poids
    $\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-X^2}}$
    $$<T_n,T_m>=\int^1_{-1}\frac{T_n(x).T_m(x)}{\sqrt{1-X^2}}dx=0\quad\forall
    n\neq m\qquad p\text{p. scalaire}$$
  \item $T_n(x)=+1;-1;+1;-1;...$\\
    Pour $X=1, cos(\frac{\pi}{n}), cos(\frac{2\pi}{n}), cos(\frac{k\pi}{n})$
\end{enumerate}

\paragraph{Théorème} Dans l'ensemble des polynômes de degré $n$ ayant le
coefficient de tête égal à 1, c'est $T_n^*=\frac{T_n}{2^{n-1}}$ qui réalise la
meilleure approximation uniforme de la fonction nulle sur $[-1;1]$.
$$||T_n^*||=max|T_n^*(x)|=\frac{1}{2^{n-1}}\qquad -1\leq x\leq 1$$
$$\mathcal{P}_n={\text{polynôme~:~} X^n+a_{n-1}.X^{n-1}+...+a_0}$$

\paragraph{Démonstration}

On veut montrer que $||T_n^*||=Min||R_n||\quad R_n\in P_n$.

Supposons le contraire~: $\exists R_n\in P_n$ tel que
$||R_n||<||T_n^*||=\frac{1}{2^{n-1}}$, $T_n^*-R_n=P_{n-1}$ polynôme de degré
$\leq n-1$.

$$X_0=1\qquad P_{n-1}(1)=T_n^*(1)-R_n(1)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(1)>0$$
$$X_1=cos(\frac{\pi}{n})\quad
P_{n-1}(X_1)=T_n^*(X_1)-R_n(X_1)=\frac{-1}{2^{n-1}}-R_n(X_1)<0$$
$$X_2=cos(\frac{2\pi}{n})\quad
P_{n-1}(X_2)=T_n^*(X_2)-R_n(X_2)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(X_2)>0$$
$$\vdots$$
$$X_n=cos(\pi)=-1\quad
P_{n-1}(X_n)=T_n^*(X_n)-R_n(X_n)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(X_n)^<_>0$$

Les $(n+1)$ points $X_0=1,...,X_n$ pour lesquels $T_n^*$ prend les valeurs
$\frac{1}{2^{n-1}};\frac{1}{2^{n-1}};...$

Donc $P_{n-1}(x)$ possède au moins $n$ racines dans $[-1,1]$. Ceci n'est pas
possible car le degré $P_{n-1}\leq n-1$.

Donc $||T_n^*||=Min||R_n||\quad R_n\in P_n$.\\

\paragraph{Théorème} Si $P_n\in\mathbb{P}_n={\text{polynôme de degré}\leq n}$
est tel que la fonction erreur $\epsilon_n=f-P_n$ atteint les \emph{valeurs
  extrêmes alternées} $M;-M;M;...$ à $M=||\epsilon_n||$ en \emph{au moins
  $n+2$} points $X_1,X_2,...,X_{n+2}\in[a,b]$ alors $P_n$ est le polynôme qui
réalise la meilleure approximation de $f$ sur $[a,b] (P_n=P_n^*)$

\paragraph{Démonstration} (Par l'absurde)

Supposons $\exists q_n\in\mathbb{P}_n/||f-q_n||<||f-P_n||=||\epsilon_n||=M$,
$Max|f(x)-q_n(x)|<M\Leftrightarrow-M<f(x)-q_n(x)<M\quad a\leq x\leq
b\quad\forall x\in[a,b]$

$$r_n=q_n-p_n\text{degré de~}r_n\leq n$$
$$r_n=f-P_n+q_n-f=\epsilon_n+q_n-f$$

$$r_n(x_1)=\epsilon_n(x_1)+q_n(x_1)-f(x_1)=M+q_n(x_1)-f(x_1)>0$$
$$r_n(x_2)=\epsilon_n(x_2)+q_n(x_2)-f(x_2)=M+q_n(x_2)-f(x_2)<0$$
$$\vdots$$
$$r_n(x_{n+2})=\epsilon_n(x_{n+2})+q_n(x_{n+2})-f(x_{n+2})=M+q_n(x_{n+2})-f(x_{n+2})^>_<0$$

$r_n(x)$ change au moins $(n-1)$ fois de signe dans $[a,b]$ en raison de
l'aternance de $\epsilon_n\Rightarrow r_n$ possède au moins $(n+1)$ racines ce
qui est impossible.

\paragraph{Exercice 1} Polynôme de Chebyshev\\

$$\begin{cases}
    T_{n+1}(x) & =\quad2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)\\
    T_0(x) & =\quad 1, T_1(x)=x\\
  \end{cases}$$

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $T_n(x)=cos(\theta)\quad|x|\leq 1\quad\theta=arccos(x)$
  \item Montere que le coefficient dominant de $T_n$ est $a_n=2^{n-1}$
  \item Montrer que $T_n(x)=\frac{1}{2}((x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2}-1)^n)
    \forall x\in\mathbb{R}$
  \item Montrer que
    $\int^1_{-1}\frac{T_n(x).T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=0\quad\forall n\neq m$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1.]
  \item Par récurence sur $n$~:
\end{enumerate}
$$\begin{cases}
    n=0 & T_0(x)=cos(0)=1\\
    n=1 & T_1(x)=x=cos(\theta) \\
  \end{cases}$$

\paragraph{Hypothèse} Supposons que $T_k(x)=cos(k\theta)$
$$T_{n+1}(x)=2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)=2.cos(\theta).cos(n\theta)-cos(n-1)\theta$$
$$=2.cos(\theta).cos(n\theta)-(cos(n\theta).cos(\theta)+sin(\theta).
sin(n\theta))$$
$$=cos(\theta).cos(n\theta)-sin(\theta).sin(n\theta)=
cos(n+1)\theta$$

\vspace{1em}

\begin{enumerate}[2.]
  \item
\end{enumerate}
$$\begin{cases}
    T_{n+1}(x) & =\quad 2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)\\
    T_0(x) & =\quad 1, T_1(x)=x\\
  \end{cases}$$

Supposons que le coefficient dominant de $T_n$ est $a_n=2^{n-1}$

$$T_{n+1}(x)=2x.T(x)-T_{n-1}(x) = 2x.(2^{n-1}.X^n+R_{n-1}(x))-T_{n-1}(x)$$
$$\Rightarrow a_{n+1}=2.2^{n-1}=2^n$$

\vspace{1em}

\begin{enumerate}[3.]
  \item
\end{enumerate}

$$T_{n+1}=2x.T_n-T_{n-1}$$
$$T_{n+1}-2x.T_n+T_{n-1}=0 \text{(équation récurente)(*)}$$

L'équation caractéristique~: $r^2-2xr+1=0$

2 solutions particulières de l'équation (*)~: $r_1^n$ et $r_2^n$.

En effet $r_1^{n+1}-2x.r_1^n+r_1^{n-1}=r_1^{n-1}(r_1^{n-1}-2x.r_1+1)=0$, de
même pour $r_2^n$.

La solution générale de $(*)$ est $T_n=\alpha.r_1^n+\beta.r_2^n$ où $\alpha$ et
$\beta$ sont déterminées par les conditions initiales.

\section{Méthode des moindres carrés}

\section{Interpolation}

\subsection{Algo de Lagrange}

\subsection{Algo de Newton}

\section{Dérivation numérique}

\section{Intégration numérique}
