\documentclass[10pt]{report}

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\begin{document}

\chapter{Le modèle probabiliste et variables aléatoires}

\section{Exos}

\subsection{Exercice 1}

Un usager du métro effectue régulièrement 100 voyages par mois en 1ère
classe. On admet qu'à chaque voyage, cet usager a 1 chance sur 10 d'être
contrôlé. On suppose que cet usager fraude systématiquement en voyageant en
1ère classe avec un billet de seconde classe.

La différence entre les prix des billets de 1ère et 2e est de 1 \euro mais à
chaque contrôle, l'usager doit payer une amande $A$.

Soit $X$ le nombre de fois où l'usager est contrôlé pendant un mois.\\

\begin{enumerate}
  \item La loi de X~?
  \item Soit $B$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice fait pour l'usage
    pendant un mois en fraudant.\\
    Calculer $E(B)$ et en déduire pour quelle condition portant sur $A$
    l'usager est en moyenne gagnant.
\end{enumerate}

\paragraph{Correction 1.}
$X$ suit $B(n,p)$ $\lbrace^{n=100}_{p=\frac{1}{10}}$

$$\left[^{P[X=k]=C^k_{100}(0,1)^k(0,9)^{100-k}}_{\forall k=0, 1, ..., n}\right.$$

\paragraph{Correction 2.}
$B$ variable aléatoire bénéfice.

$$B=n-X\cdot A$$
$$E(B)=E(n)-A\cdot E(X)=n-A\cdot n\cdot p=100-10\cdot A$$

$E$ est linéaire.

L'usager est gagnant si $E(B)>0\Rightarrow 100-10\cdot A>0\Rightarrow A <
10\mathrm{~euros}$


\subsection{Exercice 2}

Une fabrique produit des tubes électroniques doit en moyenne $1\%$ soit
défectueux.

On suppose que les évènements sont indépendants.

Un client achète $300$ tubes électroniques. La fabrique garanti ses tubes à
$97\%$.

Soit $X$ le nombre de tubes défectueux, parmi les tubes achetés.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de probabilité de $X$~?
  \item Pour quelle loi peut-on l'approcher~?
  \item Déterminer la probabilité que le client, après avoir testé ses tubes,
    revienne à la fabrique pour faire marcher la garantie.
\end{enumerate}

\paragraph{Correction 1.}
$X$ suit $B(n,p)$ $n=300$ et $p=0,01$

\paragraph{Correction 2.}
\subparagraph{Théorème} Loi de poisson
$$B(n,p)\longrightarrow^{Loi}_{n\mapsto+\infty}B(\lambda=n\cdot p)$$

En pratique~:
$$\left\lbrace^{n>50}_p<0,1\Longrightarrow B(n,p)\simeq P(\lambda=3)\right.$$

$$P[X=k]=C^{k}_{300}(0,01)^k(0,99)^{300-k}\simeq
e^{-3}\frac{3^k}{k!}\mathrm{~(Loi~de~poisson)}$$

\paragraph{Correction 3.}

Le nombre de tubes qui fonctionnent~: $300\times 97\%=291$

$$P[X>300-291=9]=P[X>9]=1-P[X\leq 9]\simeq
1-\sum^{9}_{k=0}e^{-3}\frac{3^k}{k!}\simeq
1-e^{-3}\sum^{9}_{k=0}\frac{3^k}{k!}$$

=> 1 chance sur 1000 pour qu'il revienne

\subsection{Exercice 3}

Lors de tests d'accès à un ordinateur central par réseau télématique, on a
constaté que $95\%$ des essais permettaient une connexion correcte.

Une entreprise doit se connecter 4 fois par jour pour la mise à jour de ses
fichiers.

Soit $X$ le nombre d'essais nécessaires pour se connecter 4 fois.

\begin{enumerate}
  \item Calculer $P[X=4]$
  \item Calculer la probabilité de dépasser 6 essais.
  \item Calculer $E(X)$, $\sigma(X)=\sqrt{V\left(X\right)}$
\end{enumerate}

\paragraph{Correction 1.}
Soit $X$ le nombre d'essaus nécessaires pour observer l'événement $A$ $n$ fois.

$$P[X=x]=p\cdot C^{n-1}_{x-1}p^{n-1}\cdot q^{x-n}=C^{n-1}_{x-1}p^n\cdot
p^{x-n}$$

$$q=1-p=5\%$$

$X$ suit la loi de Pascal d'ordre $n=4$

$$p=0,95\qquad P[X=4]=(0,95)^4=0,815$$

\paragraph{Correction 2.}

$$P[X>6]=1-P[X\leq 6]=1-\sum_{k=4}^6 P[X=k]$$
$$=1-(0,95)^4-C^3_4 (0,95)^4(0,05)-C^3_5 (0,95)^4(0,05)^2\simeq 0,00223$$

\paragraph{Correction 3.}

$$E(X)=\frac{n}{p}=\frac{4}{0,95}=4,21$$

$$V(X)=\frac{n\cdot q}{p^2}\Rightarrow\sigma=\frac{\sqrt{n/cdot
q}}{p}=\frac{\sqrt{4\times 0,05}}{0,95}=0,47$$


\subsection{Exercice 4}

Un médecin envisage d'installer un cavinet de traumatologie dans une station de
sports d'hiver pendant la saison de ski.

Il estime qu'un tel cabinet devient rentable à partir de 10 patients par
jour. En moyenne, dans cette station, 5~000 skieurs skient par jour et d'après
les statistiques chaque skieur a une probabilité de 0,001 d'être victime d'une
mauvaise chute. Soit $X$ le nombre d'accidents en une journée.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de $X$.
  \item Calculer la probabilité que le cabinet soit rentable.
\end{enumerate}

\paragraph{Correction 1.}

$X$ suit $B(n,p)$ avec $n=5000$ et $p=0,001$.

$$\left\lbrace^{n~grand}_{p<0,1}\right.\Rightarrow B(n,p)\simeq P(\lambda=5)$$

\paragraph{Correction 2.}

$$P[X\geq 10]=1-P[X\leq 9]\simeq 1-e^{-5}\sum_{k=0}^{9}\frac{5^k}{k!}\simeq 0,968$$


\section{Conseils pour révision}

Pas de Choleski

Relaxation,

Faire 2 exos sur les 3 pour avoir la moyenne
\end{document}
