\chapter{Approximations} \section{Introduction} Le but de ce chapitre est de donner les premières notions de la théorie de l'approximation permettant d'aborder la résolution de problèmes tels que : \begin{itemize} \item soit $f(x)$ continue sur $[a;b]$, déterminer dans l'espace des polynôme de degré $n$ celui rend~: $|f(x)-P_n(x)|$ le plus petit possible~; \item déterminer les coefficients $a_k$ qui minimisent la valeur $\int^b_a (f(x).\sum^{n^2}_{k=0}a_k.\varphi_k)^2.\omega(x)dx$ où $\omega(x)$ est le poid. \item Soit $f$ continue et $(n+1)$ points $X_0, X_1, ..., X_n$~:\\ $\exists? P_n(x)/P_n(X_i)=f(X_i)\quad\forall i=0..n$\\ $P_n(x)$ est le polynôme d'interpolation de $f(x)$. \end{itemize} \section{Approximation dans un espace métrique} % 1.1 pour le prof !!! $(E,d)$ est un espace métrique~: il existe une distance $d$~: $$d:E_x E\longmapsto\mathbb{R}_{+}$$ $$(f,\Phi)\longmapsto d(f,\Phi)$$ \begin{enumerate}[(i)] \item $d(f,\Phi)=0\Rightarrow f=\Phi$ \item $d(f,\Phi)=d(\Phi,f)$ \item $d(f,\Phi)\leq d(f,\psi)+d(\psi,\Phi)\quad\forall f,\Phi,\psi\in E$ \end{enumerate} \paragraph{Problème} Soit $(E,d)$ un espace métrique~: $F\subset E$ (sous espace-vectoriel de $E$). Déterminer $\Phi^{*}\in F/d(f,\Phi^{*})=Min d(f,\Phi)\qquad\Phi\in F$. S'il existe, cet élément $\Phi^{*}$ sera appelé meilleur approximation (ou sens de la distance $d$) de $f\in E$. \paragraph{Définition} $E$ est un espace vectoriel normé s'il existe une norme $||f(f)||$, $\forall f\in E$.\\ $d(f,\Phi)=||f-\Phi||$ distance sur $E$. On suppose que $dim(E)<+\infty$ $$||f-\Phi^*||=Min(||f-\Phi||)\qquad\Phi\in F$$ \section{Approximation uniforme} Soit $E=\mathcal{C}([a,b]\in\mathbb{R})={f\text{~continue~} [a,b]\rightarrow\mathbb{R}}$.\\ $E$ est normée $||f||=Max|f(x)|\quad a\leq x\leq b$ $$d(f,\Phi)=||f-\Phi||=Max|f(x)-\Phi(x)|$$ Soit $\mathbb{C}_n$ un sous espace vectoriel de $E$, de dimension $n$.\\ La meilleur approximation uniforme $\Phi^{*}\in\mathcal{E}_n$ de $f\in E$ est donc la fonction définie par~: $$f-\Phi^{*}=Min(Max|f(x)-\Phi(x)|)\qquad\Phi\in\mathcal{E}_n$$ Soit ${\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n}$ une vase de $\mathcal{E}_n$~: $$\Phi^{*}=\sum^n_{i=1}a_i^{*}.\varphi_i$$ $$||f-\Phi^*||=Min(Max|f(x)-\Phi(x)|)\qquad\Phi\in\mathcal{E}, a\leq x\leq b$$ \subsection{Polynôme de Chibyshev} Les polynômes sont définis pour~: %$${^{T_{n+1}(x)=2x.T(x)-T_{n-1}(x)}_{T(x)=1, T_1(x)=x}$$ $$T_2=2X.T_1(x)-T(x)=2x^2-1$$ $$T_3=2x.T_2(x)-T_1(x)=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x$$ $$T_4(x)=8^4-8x^2+1$$ \paragraph{Propriétés} \begin{enumerate}[(i)] \item $T_n(x)=cos(n.\theta)\qquad -1\leq x\leq 1$ où $x=cos(\theta)\Leftrightarrow\theta=cos(x)\qquad 0\leq\theta\leq\pi$ \item Le coefficient dominant de $T_n(x)$ est $a_n=2^{n-1}$, $T_n(x)=2^{n-1}.X^n...$ \item ${T_0,T_1,T_2,...,T_n}$ est un ensemble de polynômes orthogonaux sur $[-1,1]$ relativement à la fonction poids $\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-X^2}}$ $$=\int^1_{-1}\frac{T_n(x).T_m(x)}{\sqrt{1-X^2}}dx=0\quad\forall n\neq m\qquad p\text{p. scalaire}$$ \item $T_n(x)=+1;-1;+1;-1;...$\\ Pour $X=1, cos(\frac{\pi}{n}), cos(\frac{2\pi}{n}), cos(\frac{k\pi}{n})$ \end{enumerate} \paragraph{Théorème} Dans l'ensemble des polynômes de degré $n$ ayant le coefficient de tête égal à 1, c'est $T_n^*=\frac{T_n}{2^{n-1}}$ qui réalise la meilleure approximation uniforme de la fonction nulle sur $[-1;1]$. $$||T_n^*||=max|T_n^*(x)|=\frac{1}{2^{n-1}}\qquad -1\leq x\leq 1$$ $$\mathcal{P}_n={\text{polynôme~:~} X^n+a_{n-1}.X^{n-1}+...+a_0}$$ \paragraph{Démonstration} On veut montrer que $||T_n^*||=Min||R_n||\quad R_n\in P_n$. Supposons le contraire~: $\exists R_n\in P_n$ tel que $||R_n||<||T_n^*||=\frac{1}{2^{n-1}}$, $T_n^*-R_n=P_{n-1}$ polynôme de degré $\leq n-1$. $$X_0=1\qquad P_{n-1}(1)=T_n^*(1)-R_n(1)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(1)>0$$ $$X_1=cos(\frac{\pi}{n})\quad P_{n-1}(X_1)=T_n^*(X_1)-R_n(X_1)=\frac{-1}{2^{n-1}}-R_n(X_1)<0$$ $$X_2=cos(\frac{2\pi}{n})\quad P_{n-1}(X_2)=T_n^*(X_2)-R_n(X_2)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(X_2)>0$$ $$\vdots$$ $$X_n=cos(\pi)=-1\quad P_{n-1}(X_n)=T_n^*(X_n)-R_n(X_n)=\frac{1}{2^{n-1}}-R_n(X_n)^<_>0$$ Les $(n+1)$ points $X_0=1,...,X_n$ pour lesquels $T_n^*$ prend les valeurs $\frac{1}{2^{n-1}};\frac{1}{2^{n-1}};...$ Donc $P_{n-1}(x)$ possède au moins $n$ racines dans $[-1,1]$. Ceci n'est pas possible car le degré $P_{n-1}\leq n-1$. Donc $||T_n^*||=Min||R_n||\quad R_n\in P_n$.\\ \paragraph{Théorème} Si $P_n\in\mathbb{P}_n={\text{polynôme de degré}\leq n}$ est tel que la fonction erreur $\epsilon_n=f-P_n$ atteint les \emph{valeurs extrêmes alternées} $M;-M;M;...$ à $M=||\epsilon_n||$ en \emph{au moins $n+2$} points $X_1,X_2,...,X_{n+2}\in[a,b]$ alors $P_n$ est le polynôme qui réalise la meilleure approximation de $f$ sur $[a,b] (P_n=P_n^*)$ \paragraph{Démonstration} (Par l'absurde) Supposons $\exists q_n\in\mathbb{P}_n/||f-q_n||<||f-P_n||=||\epsilon_n||=M$, $Max|f(x)-q_n(x)|0$$ $$r_n(x_2)=\epsilon_n(x_2)+q_n(x_2)-f(x_2)=M+q_n(x_2)-f(x_2)<0$$ $$\vdots$$ $$r_n(x_{n+2})=\epsilon_n(x_{n+2})+q_n(x_{n+2})-f(x_{n+2})=M+q_n(x_{n+2})-f(x_{n+2})^>_<0$$ $r_n(x)$ change au moins $(n-1)$ fois de signe dans $[a,b]$ en raison de l'aternance de $\epsilon_n\Rightarrow r_n$ possède au moins $(n+1)$ racines ce qui est impossible. \paragraph{Exercice 1} Polynôme de Chebyshev\\ $$\begin{cases} T_{n+1}(x) & =\quad2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)\\ T_0(x) & =\quad 1, T_1(x)=x\\ \end{cases}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $T_n(x)=cos(\theta)\quad|x|\leq 1\quad\theta=arccos(x)$ \item Montere que le coefficient dominant de $T_n$ est $a_n=2^{n-1}$ \item Montrer que $T_n(x)=\frac{1}{2}((x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2}-1)^n) \forall x\in\mathbb{R}$ \item Montrer que $\int^1_{-1}\frac{T_n(x).T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=0\quad\forall n\neq m$ \end{enumerate} \begin{enumerate}[1.] \item Par récurence sur $n$~: \end{enumerate} $$\begin{cases} n=0 & T_0(x)=cos(0)=1\\ n=1 & T_1(x)=x=cos(\theta) \\ \end{cases}$$ \paragraph{Hypothèse} Supposons que $T_k(x)=cos(k\theta)$ $$T_{n+1}(x)=2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)=2.cos(\theta).cos(n\theta)-cos(n-1)\theta$$ $$=2.cos(\theta).cos(n\theta)-(cos(n\theta).cos(\theta)+sin(\theta). sin(n\theta))$$ $$=cos(\theta).cos(n\theta)-sin(\theta).sin(n\theta)= cos(n+1)\theta$$ \vspace{1em} \begin{enumerate}[2.] \item \end{enumerate} $$\begin{cases} T_{n+1}(x) & =\quad 2x.T_n(x)-T_{n-1}(x)\\ T_0(x) & =\quad 1, T_1(x)=x\\ \end{cases}$$ Supposons que le coefficient dominant de $T_n$ est $a_n=2^{n-1}$ $$T_{n+1}(x)=2x.T(x)-T_{n-1}(x) = 2x.(2^{n-1}.X^n+R_{n-1}(x))-T_{n-1}(x)$$ $$\Rightarrow a_{n+1}=2.2^{n-1}=2^n$$ \vspace{1em} \begin{enumerate}[3.] \item \end{enumerate} $$T_{n+1}=2x.T_n-T_{n-1}$$ $$T_{n+1}-2x.T_n+T_{n-1}=0 \text{(équation récurente)(*)}$$ L'équation caractéristique~: $r^2-2xr+1=0$ 2 solutions particulières de l'équation (*)~: $r_1^n$ et $r_2^n$. En effet $r_1^{n+1}-2x.r_1^n+r_1^{n-1}=r_1^{n-1}(r_1^{n-1}-2x.r_1+1)=0$, de même pour $r_2^n$. La solution générale de $(*)$ est $T_n=\alpha.r_1^n+\beta.r_2^n$ où $\alpha$ et $\beta$ sont déterminées par les conditions initiales. \section{Méthode des moindres carrés} \section{Interpolation} \subsection{Algo de Lagrange} \subsection{Algo de Newton} \section{Dérivation numérique} \section{Intégration numérique}